Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 113 стр.

2.4.2. Вычисление преобразования Фурье-Бесселя на основе
экспоненциальной аппроксимации

     Аппроксимация табличных данных двумя экспонентами рассмотрена в
книге [Хэмминг, 1964].
      Опишем способ аппроксимации экспериментальных данных или
функций экспоненциальными полиномами и изложим методику расчета
входящих в него коэффициентов, приведенный в дипломной работе
В.Сапожникова.     На     каждое        слагаемое  линейной         комбинации
экспоненциальных функций нужно иметь по крайней мере пару
экспериментальных точек. Если число экспериментальных данных имеет
значительно больший объем, то полезно подобрать аппроксимирующий
экспоненциальный многочлен методом наименьших квадратов. Полученный
полином дает наилучшее приближение, при котором среднеквадратическая
погрешность по всем точкам минимальна. Требование о равенстве
аппроксимирующей функции значениям вектора данных в узловых точках
снимается.
     Пусть задана таблица значений функции и независимого переменного
                       х1     х1         х1     …  хn
                       У1     У2        У3      …  Уn
Необходимо аппроксимировать вектор данных Y = (Y1 ,..., Yn ) полиномом вида
                                        m     ax
                               y ( x) = ∑ Ai e i .                       (2.4.8)
                                       i =1
 Многочлен содержит m членов. Нужно, чтобы объем выборки n был больше
2m. По вектору данных составим систему уравнений
                             m
                        Y = ∑ Ai exp(ai xi ), k = 1,..., n .   (2.4.9a)
                         k 1=1
Пусть данные заданы на равномерной сетке аргументов
                        x = x + (k −1)h, k = 1,2,..., n .            (2.4.9b)
                          k 1
где h – шаг независимой переменной.
      Введем обозначения
                        ci := Ai exp(ai x ), zi := exp(ai h).
                                         1
После подстановки принятых обозначений в выражение (2.4.9) получим
                               m
                         Y = ∑ ci zik −1, k = 1,..., n .             (2.4.10)
                           k i=1
Решение системы (2.4.10) найдем в два этапа. На первом этапе найдем
коэффициенты aк. На втором этапе, используя известные величины ak, найдем
коэффициенты Аk.
      Первый этап. Для решения системы (2.4.10) предположим, что z1, z2 ,..., zm
являются корнями некоторого полинома Pm ( z ) степени m вида


                                      113