Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

115
Система переопределенная. Коэффициенты
(1,...,)Sk m
k
=
можно найти
методом наименьших квадратов. Как известно, система нормальных уравнений
может быть записана в следующем виде
TT
=
BBS Bb
,
где
T
B
- транспонированная матрица
B
.
Приведем ее в более подробной записи
2
... ,
111 1
11 1 1
2
... ,
111111 1
111 1
...............................
11
1
nm nm nm nm
S Y S YY S YY YY
m
ii i iim
mi im
ii i i
nm nm nm nm
S YY S Y S YY YY
m
iim
imi iim i
iii i
nm
SYYS Y
m
i
im m im
i
−− − −
+++=−
∑∑ ∑ ∑
+
−+ +−
== = =
−−− −
+++ =−
∑∑∑ ∑
+
+−+ ++− +
=== =
−
+
∑
+− − +−
=
.
2
...
11 1 1 1
111
nm nm nm
YSY YY
im
iimim
iii
−−−
++ =−
∑∑∑
+
++−+−
===
(2.4.13)
Отыскание корней полинома (2.4.11) и вычисление коэффициентов
k
a
.
Для вычисления корней полинома с вещественными коэффициентами
(1,...,)
k
Sk m
=
существуют библиотечные программы. Их можно найти,
например, в библиотеке IMSL Visual Digital Fortran 6.X. Пусть найдены корни
многочлена (2.4.10) и они равны
, ,...,
12
z
zz
m
. Корни могут оказаться
комплексными. Запишем их в показательной форме
i
k
z
ze
kk
ϕ
=
.
Так как
: exp( )
z
ah
kk
=
, то величина
a
k
равна
(
)
ln | | /azih
kk
ϕ
=+
. (2.4.14)
Вычисление
,1,2,...,ak m
k
=
завершает первый этап расчетов.
Второй этап. Вычисление величин
k
A
. Для определения величин
k
A
снова
воспользуемся методом наименьших квадратов. Экспериментальные данные в
узлах сетки будут приближаться функцией следующего вида:
( ) ( ), ( ) exp( )
1
m
Yx Af x f x ax
jj j j
j
==
∑
=
.
Здесь будем использовать коэффициенты
a
i
, найденные на первом этапе
вычислений. Посредством последней формулы на сетке аргументов (2.4.9b)
получаем систему уравнений
FA Y
,
где
: ( ) , : ( ,..., ), : ( ,..., )
,
11
1,..., , 1,...,
f
fx A A Y Y
mn
ij j i
injm



== = =
==
FAY
.
Следовательно, нормальная система уравнений в векторно-матричной записи
примет вид 
Система       переопределенная.            Коэффициенты                   S (k = 1,..., m) можно найти
                                                                           k
методом наименьших квадратов. Как известно, система нормальных уравнений
может быть записана в следующем виде
                                                    BT BS = BT b ,
где BT - транспонированная матрица B .
Приведем ее в более подробной записи
        n−m 2                   n−m                      n −m                 n−m
    S
   m      ∑    Y     + S          ∑   Y Y     + ... + S    ∑  Y  Y        = −   ∑ Yi Yi+m ,
          i =1    i       m−1 i=1 i i+1                 1 i=1 i i+ m−1          i =1
  
        n − m                       n − m   2             n − m                   n −m
  Sm ∑ Yi +1Yi + Sm−1 ∑ Yi +1 + ... + S1 ∑ Yi +1Yi +m−1 = − ∑ Yi+1Yi +m ,
         i =1                        i=1                   i=1                     i=1
  ...............................
  
        n−m                             n−m                           n −m 2            n −m
  Sm ∑ Yi +m−1Yi + Sm−1 ∑ Yi +m−1Yi +1 + ... + S1 ∑ Yi +m−1 = − ∑ Yi+m−1Yi +m .
         i =1                            i =1                          i=1               i=1
                                                                                                (2.4.13)
         Отыскание корней полинома (2.4.11) и вычисление коэффициентов ak .
Для вычисления корней полинома с вещественными коэффициентами
S k (k = 1,..., m) существуют библиотечные программы. Их можно найти,
например, в библиотеке IMSL Visual Digital Fortran 6.X. Пусть найдены корни
многочлена (2.4.10) и они равны z , z ,..., zm . Корни могут оказаться
                                                              1 2
комплексными. Запишем их в показательной форме
                                                                iϕ
                                                    z = z e k.
                                                     k      k
Так как z := exp(a h) , то величина a равна
              k              k                          k
                                                (  k          )
                                                a = ln | z | +iϕ / h .
                                                              k
                                                                                                (2.4.14)
 Вычисление a , k = 1, 2,..., m завершает первый этап расчетов.
                        k
         Второй этап. Вычисление величин Ak . Для определения величин Ak снова
воспользуемся методом наименьших квадратов. Экспериментальные данные в
узлах сетки будут приближаться функцией следующего вида:
                                                 m
                                       Y ( x) = ∑ A j f j ( x), f j ( x) = exp(a j x) .
                                                 j =1
Здесь будем использовать коэффициенты ai , найденные на первом этапе
вычислений. Посредством последней формулы на сетке аргументов (2.4.9b)
получаем систему уравнений
                               FA = Y ,
где
      F =  fi, j  :=  f j ( xi )                       , A := ( A ,..., Am ), Y := (Y ,..., Yn ) .
                                     i=1,...,n, j =1,...,m           1                   1
Следовательно, нормальная система уравнений в векторно-матричной записи
примет вид

                                                    115

Страницы