Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 114 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

114
(1)
12
() ... 0, 1.
12 1 0
0
m
mm
mm m i
Pz z Sz Sz S z S zS S
mm
mi
m
i
−
−
−−
=+ + ++ += = =
∑
−
−
=
(2.4.11)
Используя систему (2.4.10), сначала найдем коэффициенты
(1,...,)
k
Sk m=
полинома (2.4.11). Затем по известным величинам
k
S
найдем корни этого
многочлена.
Вычисление величин
k
S
. Умножим первое уравнение системы (2.4.10) на
m
S
, второе уравнение на
1
m
S
−
, …, m-е уравнение на
1
S
, m+1–е уравнение на 1 и
сложим первые m+1 уравнений:
1
001
mmm
i
YS czS
mi j j mi
i
iij




=
∑∑∑
−
−
+
===
.
Меняя порядок суммирования и учитывая тот факт, что
j
z
являются корнями
уравнения (2.4.11), получим
()0
01 1 0 1
mm m m m
ii
cz S c zS cP z
m
j j mi j jmi j j
ij j i j








=
==
∑∑ ∑ ∑ ∑
−−
== = = =
.
Итак,
0
1
0
m
YS
mi
i
i
=
∑
−
+
=
,
поэтому, имеем уравнение
11
1
m
YS Y
i
mi m
i
=−
∑
−
++
=
.
Эту процедуру проделаем далее для всех уравнений системы (2.4.10), начиная
со второго. Последний раз это будет возможно сделать, начиная
преобразования с уравнения с номером n-m. В результате получим систему из
n-m линейных уравнений относительно величин
k
S
:
.
,
11
1
,
11 2
1
...............................
11
1
m
YS Y
i
mi m
i
m
YS Y
imi m
i
m
YS Y
n
inm mi
i
=−
∑
−+ +
=
=−
∑
+−+ +
=
−
∑
+− − −+
=
(2.4.12)
Пусть
B
– матрица системы (2.4.12), имеющая размер (n-m)xm, а вектор
nm
−
∈b R
– ее правая часть,
m
∈S R
– искомый вектор. Обозначим
1
1
:,:,,
11
Y
YY
m
S
m
m
YY SY
nm n
n


















−
−
===
−
−
−
BSb

тогда систему (2.4.12) можно записать в более компактном виде
=
BS b
. 
                                                                      m
   Pm ( z ) = z m + S z m−1 + S z m−2 + ... + S     z m−(m−1) + Sm = ∑ zi Sm−i = 0, S = 1.
                     1         2                m−1                 i =0             0
                                                                                  (2.4.11)
Используя систему (2.4.10), сначала найдем коэффициенты S k (k = 1,..., m)
полинома (2.4.11). Затем по известным величинам S k найдем корни этого
многочлена.
       Вычисление величин S k . Умножим первое уравнение системы (2.4.10) на
S m , второе уравнение на Sm −1 , …, m-е уравнение на S1 , m+1–е уравнение на 1 и
сложим первые m+1 уравнений:
                             m                m m        i 
                             ∑ Yi +1Sm−i = ∑ ∑ c j z j  Sm−i .
                                                 
                            i=0              i=0  j =1
                                                       
                                                            

Меняя порядок суммирования и учитывая тот факт, что z j являются корнями
уравнения (2.4.11), получим
           m m              m      m           m
           ∑ ∑ j j  Sm−i = ∑ c j  ∑ zij Sm−i  = ∑ c j Pm ( z j ) =0 .
                    c z i
          i=0  j=1       
                             j =1  i=0          j =1
Итак,
                              m
                              ∑ Yi +1Sm−i = 0 ,
                             i=0
поэтому, имеем уравнение
                                      m
                                      ∑YS             = −Y    .
                                     i=1 i m−i +1         m+1
Эту процедуру проделаем далее для всех уравнений системы (2.4.10), начиная
со второго. Последний раз это будет возможно сделать, начиная
преобразования с уравнения с номером n-m. В результате получим систему из
n-m линейных уравнений относительно величин S k :
                     m
                      ∑ Yi Sm−i +1 = −Ym+1,
                     i=1
                     m
                      ∑ Yi +1Sm−i +1 = −Ym+ 2 ,
                     i=1                                                 (2.4.12)
                     ...............................
                     
                     m
                      ∑ Yi +n−m−1Sm−i +1 = −Yn .
                     i=1
Пусть B – матрица системы (2.4.12), имеющая размер (n-m)xm, а вектор b ∈ R n− m
– ее правая часть, S ∈ R m – искомый вектор. Обозначим
                       Y                    Ym                 −Y
                           1                        
                                                        S 
                                                           m       m−1 
                                                                    
                   B :=                   , S :=    , b =      ,
                                                               
                         Yn−m       Y             S        −Yn 
                                     n−1          1            
тогда систему (2.4.12) можно записать в более компактном виде
                                   BS = b .
                                           114

Страницы