Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 119 стр.

2.4.3. Алгоритм Андерсена.

     Рассмотрим несобственный интеграл, содержащий функцию Бесселя
первого рода
                                                   ∞
                                         F (r ) = ∫ f (λ ) J n (λ r )d λ , n = 0,1.                             (2.4.16)
                                                   0
Сделаем в нем замену переменных r = e x , λ = e− y и умножим обе части
равенства на e x . Интеграл (2.4.16) примет вид
                                                ∞
                                                    (      )              (
                             e x F ( e x ) = ∫ f e− y e x− y J n e x− y  dy .
                                                −∞                                )        
Обозначая
                   ϕ ( x) := e x F (e x ), g ( y) := f (e− y ), ψ n (ξ ) := eξ J n (eξ ) ,
сведем интеграл (2.4.16) к интегралу свертки
                                                            ∞
                             ϕ ( x ) = ( g ∗ψ n ) ( x ) = ∫ g ( y)ψ n ( x − y) dy .                             (2.4.17)
                                                           −∞
Примем
                  ϕ (α ) = F [ϕ ],                  g (α ) = F[ g ],               ψ n (α ) = F[ψ n ] .
Тогда по теореме о Фурье-преобразовании свертки имеет место равенство
                                                  ϕ (α ) = g (α )ψ n (α ) .                                     (2.4.17)
Для построения функции ψ n (ξ ) (ее называют откликом фильтра) используют
интегралы
                              ∞ −aλ 2                            −r 2 /  4a 
                              ∫ λe             J (λ r )d λ = e                     / ( 2a ) ,                   (2.4.18)
                              0                 0
                              ∞ 2 −aλ 2                            −r 2 /  4a 
                              ∫λ e
                              0
                                                 J (λ r )d λ = re
                                                  1                             ( )    / 4a 2 .                 (2.4.19)

     Рассмотрим более подробно построение фильтра для случая n = 0. В этом
случае, согласно (2.4.18) имеем
                  −r 2 /  4a 
                                                                                            , ψ (ξ ) = eξ J  eξ  .
                                                                            2
      ϕ ( x) = re                   / ( 2a )        , g ( y) = λ e−aλ
                                             r =e x                           λ =e− y 0                    0 
Из равенства (2.4.17) найдем спектр фильтра ψ (α )
                                                                           0
                                               ψ (α ) = ϕ (α ) / g (α ) .
                                                  0
Опасность деления на нуль в последней формуле автор удачно обходит.
     Применяя обратное преобразование Фурье, находят
                             ψ ( x) = F −1 ψ (α ) = F −1 ϕ (α ) / g (α )  .
                                0                   0       
При построении ψ ( x) используется алгоритм БПФ, поэтому фильтр получают
                        0
в дискретном наборе точек, равномерно расположенных на оси переменой х.



                                                          119