Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 152 стр.

                                                                                         s + s2 −α 2    
                                      (                   )
                   ∞                                                      2       2
                                                  e−b s −α
1. G1 (α , b, s) := ∫ e    − sλ
                                  K0 α λ − b d λ = 2
                                              2       2
                                                           g (α , s ), g (α , s ) := ln                 .
                     0                             s −α 2                               
                                                                                        
                                                                                              α          
                                                                                                         

                                          (                   )
                                                            e−b s −α 
                       ∞                                          2   2
                                                                                                 1     
                       ∫
2. G2 (α , b, s) := λ e− sλ K0 α λ 2 − b2 d λ = −
                                                             s 2
                                                                 −  α 2 
                                                                          1 + g (α , s)  b −
                                                                                        
                                                                                             s 2
                                                                                                  − α
                                                                                                         .
                                                                                                      2 
                                                                                                        
                       0                                                 

                                                  (               )
                                                             e −b s −α  s                              
                    ∞                                               2  2
                                                                                                   1
3. G3 (α , b, s) := ∫ λ 2 − b 2 e − sλ K1 α λ 2 − b 2 d λ = − 2 2  + α g (α , s)  b + 2 2   .
                    0                                          s − α  α                       s − α  
     Пример. Вычислим приближенно интеграл в формуле (3.2.15) на основе
экспоненциальной аппроксимации. Пусть
                                                                      M
                                                      Dn ( λ ) ≈ ∑ Dn,me− dmλ
                                                                      m=1
и коэффициенты Dn,m и d m не зависят от λ . Тогда интеграл можно
приближенно представить в виде
                 ∞                                    ∞    M
                                                                                    eiλ z + e−iλ z
   Qn (r, z ) := ∫ pn Dn ( λ ) K1( pn r )cos λ zd λ ≈ ∫ pn ∑ Dmne − dm λ
                                                                         K1( pn r )                dλ =
                 0                                    0    m =1                           2
                                 ∞                                           ∞                     
             1 M               −( d m −iz ) λ                          −( dm +iz )λ
             2 m∑   mn ∫ n                                      ∫0 n
                   D      p e                K1 ( pn r ) d λ +   p  e              K1 ( pn r ) d λ =
                =1     0                                                                          
             1 M
               ∑
             2 m =1
                    Dmn G3 (r , kn∗ , d m − iz ) + G3 (r , kn∗ , d m + iz ) .

Здесь kn∗ := iωµnσ n , Re kn∗ ≥ 0.
     Отметим, что результат приближенного вычисления интеграла – функция
Qn (r, z ) – получен в полуаналитическом виде и открывает возможность для его
дальнейшего математического анализа по пространственным переменным r и z.




                                                                       152