Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 150 стр.

                                        ∞
                                                                        1        
                                 = q µn ∫ Dn ( λ ) K 0 ( pn r ) δ (λ ) − sin λ z  d λ .
                                        0                                  λ        




          Рис. 3.19. График функции D3 (λ ) при T=2π 102 для различных λ..
    Параметры трехслойной среды: σ1 = 1 омм-1, σ2 = 4.5 107 омм-1, σ3 = 0.1
    омм-1; радиус скважины а = 0.10 м, толщина обсадной трубы h =0.01 м.


Здесь δ (λ ) - дельта-функционал, который любой непрерывной функции f (⋅)
ставит в соответствие ее значение в нуле f (0) 4. Это дает основание записать
                                                                ∞
                                J µn π  2                 2                 sin λ z 
             Az( ) (r , z ) =
                c
                                            D
                                4π  2  π n
                                               ( ) 0 n  π ∫ n ( ) 0 n λ d λ  . (3.2.14)
                                                0 K ( k r )   −   D λ K ( p r )
                                                               0                        
     Нас интересует поведение компоненты Er во вмещающей среде.
Согласно (3.2.1), получим
                     1 ∂ 2 Az( ) I ρ n 2
                              c          ∞
                                           p D ( λ ) K1 ( pn r )cos λ zd λ , r > rn −1. (3.2.15)
                   µnσ n ∂r∂z 4π π ∫0 n n
              Er =              =

В однородной среде Dn ( λ ) ≡ 1 , поэтому
      2∞                          ∂ 2∞                              ∂ e− k1R    1 + k1R − k1R
   π0∫ p K (
        1 1 1p r )cos λ z d λ = −      ∫
                                  ∂r π 0
                                         K 0 ( p1r )cos λ z d λ = −
                                                                    ∂r R
                                                                             =r
                                                                                   R3
                                                                                       e .

Следовательно, радиальная составляющая электрического поля в однородном
пространстве равна


4
    На физическом уровне строгости это свойство записывают в виде интегралов
                                                ∞
∫   f ( x )δ ( x − x0 )dx = f ( x0 ) или    ∫
                                            x0
                                                    f ( x)δ ( x − x0 )dx = f ( x0 ) / 2 . С позиций строгой математики
эти интегралы лишены смысла.
                                                                150