Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

98
Рассмотрим частные классы функций.
А. Подкласс
λ
X
.
При
λ
→∞
() (1)XO
p
λ
=
, так как в этом случае
/(,)
1
pR p
λλ
∗
→
.
При
0
λ
→
() ()XO
p
λ
λ
=
, так как в этом случае
/(,) /()
11
p
RpkRp
λ
∗
→
.
Таким образом,
()X
p
λ
∈
λ
X
⊂
)
)
0, 0,CV
∞
∞
∞∩
, (2.3.1.3)
где
()
0,V ∞
– пространство функций с ограниченной вариацией на интервале
(0,∝).
Б. Подкласс
λ
∆
X
. К этому классу отнесем функции переменной
λ
1
(, ): (, ) (, ) () ()
2
XpXpXp X X
pp
λ
λλλ
∆∆
=∞− =− ≡


.
Функция
()
p
X
λ
∆
имеет следующие асимптотические оценки:
•
при
λ
→∞
2
() ( )XO
p
λλ
∆−
=
,
•
при
0
λ
→
() (1)XO
p
λ
∆
=
.
Таким образом,
()X
p
λ
∈
λ
∆
X
⊂
)
)
)
(
)
0, 0, 0, 0,
12
CVLL
∞
∞
∞∞ ∞∩∩ ∩
. (2.3.1.4)
В. Подкласс
λ
∆
X
. К этому классу отнесем функции переменной
λ
, равные
разности функций для слоистой среды и полупространства:
(, ): (, ) (, ) () ()
1
1
XpXpX pX X
pp
p
λ
λ
λλ λ λ
λ
∆=− =−≡∆
+


.
Очевидно
)
()()
1
1
()
/
1
1
11
pR
X
p
p
pR
Rp p
λ
λλ
λ
λ
λ
λλ
∗
−
∆= −=
∗
∗
+
+
++
.
Можно показать, что
•
при
λ
→∞
22
1
11
() ( )
2
hh
XeOe
p
λ
λ
λ
−
−
∆→ =
,
•
при
0
λ
→
1
() ()
1
R
XO
p
k
λ
λλ
−
∆→=
.
Отсюда следует
()X
p
λ
∆∈
λ
∆
X
⊂
(
)
)
)
)
0, 0, 0, 0,
12
CVLL
∞
∞
∞∞ ∞∩∩ ∩
. (2.3.1.5)
В. Подкласс
λ
t
X
. К этому классу отнесем функции
()
(,)
11
(,) ,
1
22
1
Xt
XtC pX p C p
t
k
λλ
λλ
λλ


∂
−−
≡= =
∂
++

,
где
1
C
−
– оператор обратного преобразования Лапласа-Карсона.
Путем тождественных преобразований получим 
     Рассмотрим частные классы функций.
А. Подкласс Xλ .
При λ → ∞ X p (λ ) = O(1) , так как в этом случае p / R∗ (λ , p ) → λ .
                                                           1
При λ → 0 X p (λ ) = O(λ ) , так как в этом случае p / R∗ (λ , p) → k / R( p ) .
                                                           1         1
Таким образом,
                     X p (λ ) ∈ Xλ ⊂ C ∞ ( 0, ∞ ) ∩ V ( 0, ∞ ) ,                 (2.3.1.3)
где V ( 0, ∞ ) – пространство функций с ограниченной вариацией на интервале
(0,∝).
Б. Подкласс Xλ∆ . К этому классу отнесем функции переменной λ
                                                        1
                X ∆ (λ , p ):= X (∞, p) − X (λ , p) = − X p (λ ) ≡ X ∆    p (λ ) .
                                                         2
Функция X ∆p (λ ) имеет следующие асимптотические оценки:
   • при λ → ∞ X ∆                  −2
                      p (λ ) = O(λ ) ,
   • при λ → 0 X ∆   p (λ ) = O(1) .
Таким образом,
              X p (λ ) ∈ Xλ∆ ⊂ C ∞ ( 0, ∞ ) ∩ V ( 0, ∞ ) ∩ L ( 0, ∞ ) ∩ L ( 0, ∞ ) . (2.3.1.4)
                                                            1            2
В. Подкласс ∆Xλ . К этому классу отнесем функции переменной λ , равные
разности функций для слоистой среды и полупространства:
                                                                   λ
               ∆X (λ , p) := X (λ , p) − X (λ , p) = X p (λ ) −       ≡ ∆X p (λ ) .
                                          1                     λ+ p
                                                                    1
Очевидно

                   ∆X p ( λ ) =
                                     λ
                                           −
                                                  λ
                                                    =     1        (
                                                              λ p R∗ − 1
                                                                      .
                                                                            )
                                  λ+ p /R
                                      1
                                         ∗   λ + p
                                                  1   R∗λ(+ p
                                                             1
                                                               λ + p
                                                                    1  )(        )
Можно показать, что
                               1 −2λ h1            −2λ h
                                                         1) ,
   • при λ → ∞ ∆X p (λ ) → e                = O (e
                               2
                                 R −1
   • при λ → 0 ∆X p (λ ) → λ           = O(λ ) .
                                  k
                                   1
Отсюда следует
       ∆X p (λ ) ∈ ∆Xλ ⊂ C ∞ ( 0, ∞ ) ∩ V ( 0, ∞ ) ∩ L ( 0, ∞ ) ∩ L ( 0, ∞ ) .         (2.3.1.5)
                                                      1            2
                t
В. Подкласс Xλ . К этому классу отнесем функции
                                                                                 
              ∂X (λ , t )                                                   λ    
                          ≡ X (λ , t ) = C −1  pX ( λ , p ) = C −1  p          ,
                ∂t                             1                            2 2
                                                                      λ+   λ +k 
                                                                               1 
где C −1 – оператор обратного преобразования Лапласа-Карсона.
      Путем тождественных преобразований получим
                                                 98

Страницы