Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 99 стр.

                              λ                      a                 ρ1 
                     p                  =p                       a = λ    ,
                        λ + λ 2 + k12       a + a2 + p                 µ  
и в таблицах [Диткин, Прудников, 1965, формула 22.48] найдем
                                          2  1         2        a 
  X (λ , t ) = C −1  pX ( λ , p ) = ae−a t      − aea t erfc    .                     (2.3.1.6)
                     1                      πt                t 
Очевидно, что
                                          ρ 2
                                         −  1λ 
   • при λ → ∞ X (λ , t ) = O  λ e
                                          µ
                                                ,
                                                
                                                
   • при λ → 0 X (λ , t ) = O ( λ ) .
Поэтому
                  X (λ , t ) ∈ Xλt ⊂ C ∞ ( 0, ∞ ) ∩ V ( 0, ∞ ) ∩ L ( 0, ∞ ) ∩ L ( 0, ∞ ) .     2.3.1.7)
                                                                  1            2
     Таким образом, большинство классов функций, являющихся решениями
прямых задач для горизонтально-слоистых моделей среды, в области
изображений          по       Ханкелю         принадлежат            пересечению           пространств
  ∞
C ( 0, ∞ ) ∩ V ( 0, ∞ ) ∩ L ( 0, ∞ ) ∩ L ( 0, ∞ ) непосредственно, либо путем несложных
                             1          2
преобразований могут быть сведены к классу функций, принадлежащих этому
пересечению.

2.3.2. Свойства классов функций T и Ω

     Основным физическим параметром, с которым имеют дело в структурной
электроразведке, является кажущееся сопротивление ρτ ( t ) , которое
пропорционально первой производной по времени от компоненты Ax ( r , t ) при
регистрации вертикальной составляющей магнитной индукции Bz ( r , t ) . В этом
случае ∂Ax ( r , t ) / ∂t при t → ∞ имеет оценку
                               ∂Ax ( r , t )
                                             = O  t −3/2  .                 (2.3.1.8)
                                    ∂t                     
Класс функций, являющихся решением телеграфного уравнения (с учетом
токов смещения) и имеющих на бесконечности оценку (2.3.1.8), изучался П. П.
Макагоновым [1966]. Воспроизведем далее некоторые результаты,
приведенные в цитированной работе.
     1. Класс T имеет следующие функциональные свойства
                                                                   (          )
                        T ⊂ L ( 0, ∞ ) ∩ L ( 0, ∞ ) ∩ B ( 0, ∞ ) ∩ C r εµ , ∞ ,
                             1               2
где B - пространство ограниченных функций, ε - диэлектрическая
проницаемость.
     2. Класс функций Ω = L[ T ], получаемый применением прямого
преобразования Лапласа к классу T , характеризуется следующими свойствами.
Любая FΩ ∈ Ω


                                                  99