Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 97 стр.

2.3. Некоторые свойства классов функций, связанных с решением
задач в горизонтально-слоистой среде

      При решении прямых задач геоэлектрики нередко применяются
различного рода математические операции над векторными и скалярными
полями, правомерность которых требует знание тех или иных функциональных
свойств
      Обсуждение рассмотренных в этом разделе вопросов приведено в работе
[Юдин, 1970].
      Функцию
                                                   λ
             X (λ , p) := λ X (λ , p) =              ∗     ( p = −iω , pm = λ 2 + km
                                                                                   2)
                                        λ + p / R (λ , p )
                                                 1
можно рассматривать в качестве функции, заданной в области изображений по
Лапласу (или Лапласу–Карсону) (аргумент p ) и Ханкелю (аргумент λ). Для
вычисления оригиналов по этой функции применяются либо численные
методы, либо приемы, основанные на использовании асимптотических свойств
интегральных преобразований и функции X (λ , p) . И в том и в другом случае
необходимо знать свойства основных классов функций в области изображений
                                  ∂A ( r , t ) 
      {       }
X := X (λ , p) , класса T :=  x
                                      ∂t 
                                                 в области оригиналов и класса функций

Ω, являющегося преобразованием Лапласа функций из T
                                            Ω = L[ T ].

2.3.1. Свойства класса функций X и связанных с ним подклассов

     Функцию двух переменных X (λ , p) будем обозначать символом X p (λ ) ,
когда будем говорить о ней как о функции переменной λ с параметром р и
X ( p) - когда будем рассматривать ее как функцию от р с параметром λ.
  λ
Наряду с классом X
                                   X := { X (λ , p)}                          (2.3.1.1)
будем рассматривать частные классы
                           {        }
                  Xλ := X p (λ ) , X p := X ( p) .  {   λ   }                 (2.3.1.2)
Напомним (формула (2.1.2.9)), что
                                                    λ
                               X (λ , p) =                       .
                                             λ + p / R∗(λ , p)
                                       1
Отметим,       что     функция  ∗
                               R (λ , p) (формула (2.1.2.8)) бесконечно
дифференцируема и имеет не равные нулю асимптотические значения при
λ , p → 0 и λ, p → ∞ .

                                               97