Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 95 стр.

Запишем в более удобном виде часть подынтегральной функции, зависящую от
частоты, и по таблицам [Диткин, Прудников, 1965] найдем соответствующий
ей оригинал:
              − z λ 2+k 2      − z2µσ ( p+λ 2 / µσ )
            e           1    e
          p                =
                   2
            λ + λ +k     2   λ + µσ ( p + λ 2 / µσ )
                         1
               1       λ 2t z 2 µσ      λ                    z µσ   λ t 
                  exp  −     −      −        exp(λ z )erfc       +      .
               πt      µσ       4t  µσ                        2 t    µσ  
                                    
Подставим последнее выражение в (2.2.4.1) и запишем A x (t , y, z ) в виде суммы
двух интегралов. После простых преобразований получим:
                                                  2          
                               J µ t  e−[ z /(2a)]      1                t
            A x (t , y, z ) =      ∫                S −   S dt , a :=    ,
                              π µσ 0         πt      1 µσ 2            µσ
                                                             
где
                               ∞      λ 2t       
                           S = ∫ exp  -    − λ h  cosλ y dλ ,
                            1
                               0      µσ        0
                                                 
                  ∞                          z µσ
                               (               )     λ t            
               S= ∫ λ exp −λ (h − z ) erfc       +                 cosλ y dλ .
             2    0            0             2 t     µσ             
Введем обозначения
                α := µσ [(h − z ) − iy] , β := µσ (h                 − iy).
                                       0                        0
Интегралы S1 и S2 табличные [Диткин, Прудников,1965]:
                  µσ   β 2        β          β *2 
                                                          
                                                                   β * 
                                                                        ,
          S =          exp        erfc      + exp          erfc
           1       t       4t       2 t         4t          2 t 
                                                                          
                               1 ∂ 
                           S =          f (α ,h ) + f (α *,h    )  .
                            2 2a ∂ h         0            0    
                                    0
Здесь
                                     α2                                                
                  zα   µσ                        α   1 z /2a      αu               .
f(α , h ) := exp        α 1 − exp  −     erfc         −
                                                          a ∫     exp  −   erfc (u ) du
       0          2a t                 4t       2 t       0          t              
                                                                                         
2. Поле в воздухе (z < 0) Нестационарное поле в воздухе найдем на основе
формул (2.1.2.29)–(2.1.2.30). В этих формулах интегралы I1 и I2 не зависят от
частоты, поэтому при переходе к нестационарным полям они остаются без
изменения. Для вычисления третьего интеграла воспользуемся соответствием
[Диткин, Прудников, 1965]:
                                     α2 
              p S (α p)
                               1
                                 exp      erfc  α  + 1 :=ϕ (α ,t ).
                 1,1          α       4t        2 t    πt
В результате получим:

                                                   95