Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 94 стр.

 Очевидно, для рассматриваемого частного случая характер асимптотики не
изменяется по отношению к асимптотике однородного полупространства
                             I ρ r ( H − h)µσ µσ ∞  R2 − 4nH 2 (n + 1) 
Er (r,0, t ) ≈ Er (r ,0,0) + 1                 1       1 ∑
                                                              
                                                                                      2 2 2
                                                                                , R = r + h .
                                      2π t π t          n=0       R R 2   2    
                                                                    n1 n2      
При t → 0
                             R2µσ
                           −        1                                                R2 µσ 
       R µσ           2 te      4t        6t µσ  1               rh µσ  µσ
 erfc(         1 )≈                   1 −       1  , E (r , h) ≈           1 exp  −    1  .
                                                 2     t                  πt
         2 t            R πµσ         
                                 1  µσ R                         2tR 2               4t 


               I ρ r µσ µσ1
 Er (r,0, t ) = 1           ×
                4π    t πt
                               R 2 µσ                                R 2 µσ   (2.2.3.13)
         ∞  (2nH + h)                         (2(n + 1) H − h)
       × ∑               exp  − n1 1  −                     exp  − n2 1  .
        n=0  R 2                      4t            R2                   4t 
                                                                                     
                  n1                                   n2
На постоянном токе
                    3I ρ ∞           (2nH + h) / r          (2(n + 1) H − h) / r
      Er (r,0,0) =      1 ∑                            −                                (2.2.3.14)
                        3
                   2π r n=0                         5                             5
                                        2nH + h 2  2         2(n + 1) H − h 2  2
                                 1 + (    r
                                               )        1+ (
                                                                      r
                                                                             ) 
                                                                              

Двухслойная среда с идеальным проводником в основании.
В этом случае поле описывает соотношение
                    Iρ ∞
      Er (r,0, t ) = 1 ∑ (−1)n ( E1t (r ,2nH + h) + E1t (r ,2(n + 1) H − h)) .        (2.2.3.15)
                    2π n=0

2.2.4. Поле токовой линии (кабеля)
                          Однородное полупространство.
       Нестационарное электромагнитное поле токовой линии над однородным
полупространством найдем посредством таблиц обратного преобразования
Лапласа. Будем полагать магнитную проницаемость постоянной и равной
магнитной проницаемости воздуха, k0 = 0.
       1. Поле в земле ( z > 0) [Юдин, 1970].
       С учетом сделанных упрощающих предположений формула (2.1.4.1) для
компоненты Ax вектор-потенциала принимает вид:
                                  −λ h − z λ 2 +k12
                           Jµ e∞      0e
                     Ax =       ∫                   cos λ yd λ .  (2.2.4.1)
                            π 0 λ + λ2 + k2
                                              1



                                               94