Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 93 стр.

                              t
                        −λ 2 µσ
                   µσ1e         1
                                      3 µσ1  ∞
      ϕ (λ , t ) ≈               1 −          ∑ sh(λ (2nH + h)) − sh(λ (2(n + 1) H − h))
                     λ πt            2 t λ 2  n=0
                                             
или
                         t
                   −λ 2 µσ
              µσ e         1
                1                3 µσ1 
 ϕ (λ , t ) ≈               1 −         {sh(λ h) + [ sh(λ (2 H + h)) − sh(λ (2 H − h))] + ...}.
                λ πt            2 tλ 2 
                            
Так как
                      sh(λ (2 H + h)) − sh(λ (2 H − h)) = 2sh ( λ h ) ch ( 2λ H ) ,
то
                                      t
                                −λ 2 µσ
                           µσ1e         1
                                              3 µσ1 
              ϕ (λ , t ) ≈               1 −          {sh(λ h)[1 + ch(λ 2 H ) + ...]} .
                             λ πt            2 t λ 2 
                                                     
При h → 0 и h → H при ϕ (λ , t ) → 0 .

Двухслойная среда с изолятором в основании.
       В этом случае σ2 = 0, k12 = 1, поэтому с учетом соответствия
                                            Eω1 (r , h) ← E1(r , h)
                                                             t
из (2.4) получаем
                                Iρ ∞
              E r ( r , 0, t ) = 1 ∑  Et1 ( r , 2 nH + h ) − E1t ( r , 2( n + 1) H − h )  .
                                2π n = 0                                                   
Обозначим
                    R := r 2 + (2nH + h)2 , R := r 2 + (2(n + 1) H − h)2 .
                       n1                               n2
При t → ∞
                                                            5 µσ 2 µσ
                                Etq (r , h) ≈
                                              3rh
                                                  (1 −
                                                        8 ( )
                                                          R
                                                                 1       1),
                                              R 5               2
                                                             15t π t
тогда
               3I ρ r
Er (r,0, t ) ≈      1 ×
                 2π
                                                                           2      
                  5
  N  2nH + h  8Rn1(µσ1)
                           2              µσ  2(n + 1) H − h  8R5 µσ
                                            1 −                1 − n2     1   ( )
                                                                                µσ  
                                                                                  1  =
× ∑          1 −                                                                
 n=0  R 5          15t 2 π t                     R 5              15t 2 π t     
       n1                                           n2                               
                                                                                                 
                                            2
             = Er (r ,0,0) +      1   (
                             4 I ρ r µσ
                                          1  ) µσ N  2(n + 1) H − h 2nH + h 
                                                 1 ∑                 −
                                                                              .
                                    5π t 2 π t    n=0     R 2         R 2 
                                                           n2          n1 

                                                     93