Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

92
()
2( )
1
1
2
1
1
(,0)
1
2
2
0
1
1
p
Hh
I
ph
e
Er e J rd
r
pH
e
ρ
λ
λ
λ
π
−
−
∞
−
−
=
∫
−
−
. (2.2.3.8)
С учетом того, что
2
1
1
2
0
1
1
pnH
e
pH
n
e
−
∞
=
∑
−
=
−
.
Подынтегральную функцию представим в следующем виде:
2( )
1(2)(2(1))
1
111
2
0
1
1
p
Hh
p
hpnHhpnHh
e
eee
pH
n
e
−
−
−−+−+−
∞
−
=−
∑
−
=
−
. (2.2.3.9)
Обратное преобразование Лапласа последнего выражения имеет вид:
2( )
1
1
1
(,),
2
2
1
1
p
Hh
ph
e
et
pH
e
ϕ
λ
−
−
−
−
←
−
−
1
(2 )
1
(,) ((2 )
2
2
0
(2 )
1
)((2))
11
(2( 1) )
1
((2( 1) ) )
1
(2( 1) )
1
((2( 1) ) ).
1
nH h
te erfcnHh
t
n
tt
nH h
eerfcnHh
t
t
nHh
eerfcnHh
t
t
nHh
eerfcnHh
t
µσ
λ
ϕλ
µσ
λ
λλ
µσ µσ
µσ
λ
λ
µσ
µσ
λ
λ
µσ
∞
−+
=+−
∑
=
+
+++−
−+−
+
−+−
+−
−+−+
(2.2.3.10)
Функция
()erfc z
при
→∞
имеет асимптотическое разложение
2
(2 1)!!
() 1 (1)
2
1
(2 )
z
em
m
erfc z
m
z
m
z
π
−
∞
+
≈+−
∑
=
. (2.2.3.11)
В разложении (4) основной вклад в сумму ряда вносят несколько первых его
членов, поэтому аргумент функции erfc() может неограниченно возрастать
лишь за счет времени t. На основании такого предположения
1
(2 )
11
tt
erfc nH h erfc
t
t
µσ
λλ
µ
σµσ



→




++ +
→∞
и
2
1
3
1
1
() 1
2
2
1
t
e
t
erfc
t
t
λ
µσ
µσ
µ
σ
λ
µσ
λπ
λ




−
+≈ −
+
. (2.2.3.12)
Подставляя ((2.2.3.12) в (2.2.3.10), получим 
                       I ρ ∞ 2 − p h 1 − e−2 p1( H −h)
             Er (r,0) = 1 ∫ λ e 1                      J ( λr ) dλ .                         (2.2.3.8)
                       2π 0                  −2 p H      1
                                        1− e     1
С учетом того, что
                                 1        ∞ −2 p1nH
                                      = ∑ e            .
                                −2 p H n=0
                           1− e     1
Подынтегральную функцию представим в следующем виде:
                   −2 p ( H −h)
       − p h 1− e      1             ∞ − p (2nH +h) − p1(2(n+1) H −h)
      e 1                         = ∑ e 1              −e             .                      (2.2.3.9)
                      −2 p H        n =0
                 1− e     1
Обратное преобразование Лапласа последнего выражения имеет вид:
                                        −2 p ( H −h)
                             − p h 1− e     1
                           e    1                    ← ϕ (λ , t ),
                                           −2 p H       2
                                      1− e     1
                 1 ∞                                   µσ
     ϕ (λ , t ) = ∑ e−λ (2nH +h)erfc((2nH + h)            1−
      2          2 n=0                                  t
                                                            µσ
                            ) + eλ (2nH +h)erfc((2nH + h)
                    t                                            1 +λ    t
             λ                                                                   )−
                   µσ                                        t          µσ
                        1                                                    1
                                                                                            (2.2.3.10)
                                                            µσ
             e−λ (2(n+1) H −h)erfc((2(n + 1) H − h)              1 +λ    t
                                                                                 )−
                                                             t          µσ
                                                                             1
                                                            µσ
              −eλ (2(n+1) H −h)erfc((2(n + 1) H − h)             1 +λ    t
                                                                                 ).
                                                             t          µσ
                                                                   1
Функция erfc( z ) при z → ∞ имеет асимптотическое разложение
                                   2
                               e− z     ∞      m (2m + 1)!!
                   erfc( z ) ≈        1 + ∑ (−1)                 .   (2.2.3.11)
                               z π  m=1           (2 z 2 )m 
В разложении (4) основной вклад в сумму ряда вносят несколько первых его
членов, поэтому аргумент функции erfc() может неограниченно возрастать
лишь за счет времени t. На основании такого предположения
                                    µσ            t                               t 
                 erfc  (2nH +h)           1 +λ         → erfc  +λ                 
                                      t          µσ  t →∞                     µσ 
                                                   1                            1    
и
                                                 t
                                           −λ 2 µσ
                                      µσ1e         1
                              t                          3 µσ1 
                  erfc(+λ        )≈                 1 −         .                         (2.2.3.12)
                            µσ1         +λ π t      
                                                        2 t λ 2 
                                                                 
Подставляя ((2.2.3.12) в (2.2.3.10), получим


                                                   92

Страницы