Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 90 стр.

этих программ и оценки точности расчетов по ним могут служить приведенные
в этом разделе аналитические выражения для компонент поля в пространстве
оригиналов. Алгоритмы вычисления интегралов обсуждаются в разделе 2.4.

2.2.3. Поле вертикального электрического диполя

Однородное полупространство.
Электрическое поле описывается соотношениями
                        Iρ ∞     −p h
                    Er = 1 ∫ λ 2e 1 J ( λ r ) d λ , z = 0.
                         2π 0          1
и
                         Iρ   3 + 3kR + k 2 R2 −kR
                   E = 1 rh                   e     , R = r 2 + h2 .
                    r1 2π           R 5
       Согласно [Диткин, Прудников, 1965, c.253, формула 23.119]
                    −p h                      λ2
                   e 1 = exp(− h2 µσ ( p +        )) ← ϕ (λ , t ),
                                       1      µσ1        1
                                   µσ                                      µσ               
     ϕ1(λ , t ) = e−λ herfc(h                             ) + eλ herfc(h
                 1                        1 −λ    t                              1 +λ    t
                                                                                             ) , (2.2.3.1)
                 2                   t          µσ1                         t          µσ1 
                                                                                            
где p := −iω . При t → ∞ или λ → ∞
                                                         t
                                                   −λ 2 µσ
                                              µσ1e         1
                                ϕ1(λ , t ) ≈                 shλ h .
                                                λ πt
С учетом соотношений [Диткин, Прудников, 1965]
                                                       R µσ
                  e−kR = exp(− R µσ p ) ← erfc(               1 ),  c.247,23.89  ,
                                                                                     
                                         1               2 t
        −k R                                         µσ
                                                         1         R 2 µσ
     k e 1 = µσ p exp(− R µσ p ) ←                         exp(−            1 ),  c.248,23.96 ,
      1                 1                   1                                                      
                                                      πt               4t

    2  −k R                                          R µσ
                                                             1          R 2 µσ
  k e     1     = µσ p exp(− R µσ p ) ← µσ                     exp(−             1 ), c.248,23.91
    1                1                 1            1 2t π t               4t                         
нестационарное электрическое поле над однородным полупространством
принимает вид
                Iρ
                   1
                           
                         3       R µσ
                                            1
                                               R µσ
                                                      1         R 2 µσ
                                                                        1
                                                                                 µσ1R 2 
 Er (r,0, t ) =      rh     erfc( 2 t ) +              exp(−             )(1 +            )  . (2.2.3.2)
                 2π     R5                       πt               4t               6t
                                                                                               
Определение. Назовем функцию




                                                      90