Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

88
Ie I
erfc
442
kr
r
A
x
rr t
µ
σ
µµ
ππ



−
=
. (2.2.2.1)
Электромагнитное поле электрического диполя в проводящем
полупространстве (земле)
Пусть электрический диполь находится на границе раздела земля-воздух.
Волновое число воздуха и земли равны соответственно k
0
и k
1
.
Диполь расположен в начале декартовой прямоугольной системы
координат и его ориентация совпадает с осью ОХ. Ось z направлена вниз.
Электромагнитное поле электрического диполя в присутствии
однородного проводящего полупространства выражается через интегралы
Зоммерфельда
(,):
22
||
22
e(),:
0
22
0
Pi R
kR
e
kz
Jrd R rz
R
k
ω
λ
λ
λλ
λ
−=
−
∞
−+
==+
∫
+
,
и Фостера
(,):
22
1
||
e()I()K()
00 0
22
22
0
Qi R
kk
kz
Jrd Rz Rz
k
ω
λ
λλ
λ

−=


∞
−+
=− +
∫
+
.
Для получения оригиналов
P , Q
функций P и Q воспользуемся
таблицами [Диткин, Прудников, 1965]. По ним находим:
1
P( - , ) P( , ) = P( , ) = erfc
2
R
iR pR tR
Rt
µ
σ
ω




≡
,
Q(p r, z)
Q(t,r,z)
=
1
22 22
exp ( ) I ( )
0
28 8
0
t
Rz Rzd
µσ µσ
τ
ττ τ



−+ −
∫
.
Согласно [Заборовский,1972], при k
0
= 0 в нижнем полупространстве
компоненты A
x
и A
z
вектор-потенциала могут быть записаны через P и Q в
следующем виде:
32
2
1
23 2
2
1
IQQP
Ak
x
z
kz z
µ∂ ∂ ∂
∂
π∂ ∂




=− + +
,
32
22
2
1
IQP
A
z
xz
kxz
µ∂ ∂
∂
∂
π∂∂




=− +
.
Обозначим
A
x
(p,R)
A(, ),tR
x
A
z
(p,R)
A(, )tR
,
тогда
322
I
A
32
2
0
t
QQP
dt
x
zt
zz
µ∂ ∂ ∂
µσ
πµσ ∂ ∂
∂∂




=− + +
∫
, (2.2.2.2) 
                                    I µ e−kr         Iµ        r µσ 
                               Ax =                      erfc       .       (2.2.2.1)
                                    4π r            4π r       2t 

          Электромагнитное поле электрического диполя в проводящем
                         полупространстве (земле)

     Пусть электрический диполь находится на границе раздела земля-воздух.
Волновое число воздуха и земли равны соответственно k0 и k1.
     Диполь расположен в начале декартовой прямоугольной системы
координат и его ориентация совпадает с осью ОХ. Ось z направлена вниз.
     Электромагнитное поле электрического диполя в присутствии
однородного проводящего полупространства выражается через интегралы
Зоммерфельда
                    ∞    λ       − λ 2 +k 2 |z|               e− kR
       P(−iω , R) := ∫         e                J (λ r )d λ =       , R := r 2 + z 2 ,
                                                 0              R
                     0 λ2 + k2
и Фостера
                   ∞            2 2
                          e− λ +k |z| J (λ r )d λ = I  ( R − z)  K  ( R + z )  .
                   1                                   k             k        
    Q (−iω , R ) := ∫
                                         0           0 2          0 2
               0 λ2 + k2                                                         
     Для получения оригиналов P , Q функций P и Q воспользуемся
таблицами [Диткин, Прудников, 1965]. По ним находим:
                                                     1       R µσ 
                   P( - iω ,R) ≡ P(p,R) = P(t,R) = erfc            ,
                                                     R       2t 
                             t 1         µσ 2 2   µσ 2 2 
       Q(p r, z)  Q(t,r,z) = ∫ exp  −    ( R + z ) I       ( R − z ) dτ .
                             0 2τ      8τ             0  8τ            
Согласно [Заборовский,1972], при k0 = 0 в нижнем полупространстве
компоненты Ax и Az вектор-потенциала могут быть записаны через P и Q в
следующем виде:

                                    I µ  ∂ 3Q 2 ∂ Q ∂ 2 P 
                            Ax = −                 +k      +         ,
                                   2π k 2  ∂ z3 1 ∂ z ∂ z 2 
                                       1
                                        I µ  ∂ 3Q       ∂ 2 P 
                              Az = −                    +          .
                                      2π k 2  ∂ x∂ z 2 ∂ x∂ z 
                                           1
Обозначим
                         Ax (p,R)     A x (t , R), Az (p,R)   A z (t , R) ,

тогда
                                I µ t  ∂ 3Q      ∂ 2Q ∂ 2 P 
                        Ax = −                + µσ       +       dt ,         (2.2.2.2)
                               2πµσ 0∫  ∂ z3      ∂ z∂ t ∂ z 2 
                                                               

                                               88

Страницы