Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 86 стр.

2.2. Аналитические решения для нестационарных полей в
горизонтально-слоистой среде


2.2.0. Введение
       При решении нестационарных задач токами смещения будем
пренебрегать. Будем предполагать, что изменение электрического тока в
источнике описывается произведением силы тока J на функцию Хевисайда 1(t):
                                             1, t ≥ 0,
                                    1(t ) = 
                                             0, t < 0.
Если форма импульса тока в источнике имеет более сложную форму, то
функции, описывающие переходной процесс, можно преобразовать к
переходным процессам, соответствующим импульсу Хевисайда [Соколов и др,
196?].
       Аналитические решения для нестационарных электромагнитных полей
обычно получаются путем применения обратного преобразования Фурье или
Лапласа к решениям, полученным в частотной области. Далеко не для всех
решений удается получить оригиналы во временной области. Как правило,
лишь для простейших моделей это удается сделать. Для нахождения
оригиналов полезно пользоваться справочниками по операционному
исчислению [Диткин, Прудников,1965].В частности, при использовании
справочников по преобразованию Лапласа или Лапласа-Карсона нужно в
формулах , являющихся функцией от круговой частоты ω, сделать замену: -i ω
на p, если p – параметр преобразования Лапласа
                                     ∞
                              F( p) = ∫ f(t )e− pt dt.
                                      0
Символом          будем обозначать соответствие между изображением и
оригиналом:
                                   F(p)        f(t)
       В большинстве случаев приходится прибегать к численному обращению
преобразования Фурье.

2.2.1. Одномерные задачи
       1. Поле плоской волны. Для функции R при z = 0 для двухслойной модели
среды получен оригинал следующим образом [Ваньян, 1965]. Эту функцию
можно представить в виде ряда
                                                              2
                   2             ρ            ∞ n −2nk1h1           ∞        −2nk h
      R(−iω ) = cth (k h + arcth   2 ) = 1 + ∑ Q e        = 1 + 4 ∑ nQ n e     11,
                      11         ρ
                                   1  n=1                          n=1
где



                                         86