Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 85 стр.

  +∞         J µ +∞ ∞                                  Jµ ∞                   ∞
                0                                         0
   ∫ Ax dx = 4π ∫ ∫ X ( z, λ ) λ J 0 ( λ r ) λ d λ dx = 4π ∫ X ( z, λ ) λ d λ ∫ J 0 ( λ r ) dx ,
  −∞              −∞ 0                                      0                −∞
где внутренний интеграл приводится к табличному:
          ∞                   ∞                 2 2     ∞ rJ ( λ r ) dr 2cos λ y
                                                             0
          ∫ J 0 ( λ r ) dx = 2 ∫ J 0 ( λ r )d r − y = 2 ∫              =
                                                                           λ
                                                                                 .
         −∞                    0                         y     2
                                                              r −y   2
Окончательно получим формулу для единственной компоненты вектор-
потенциала при z = 0:
                                    J µ ∞ e− p0h0
                             Ax = 0 ∫                  cos λ y d λ.                (2.1.5.1)
                                      π 0        µ p
                                              p + 0 ∗1
                                               0 µR
                                                  1
В произвольном m-том слое нижнего полупространства значения вектора A
можно найти численно посредством вычисления интеграла
                                  Jµ ∞
                              Ax = 0 ∫ X m ( z , λ ) cos λ yd λ ,
                                  2π 0
в котором функция                 Xm (z,λ) определяется выражением (2.1.1.4).
Коэффициенты, содержащиеся в этой функции, находятся путем решения
системы (2.1.1.6) или по формулам (2.1.2.10)-(2.1.2.11) с указанными выше
заменами.
      Расчет поля кабеля в горизонтально-слоистой среде в общем случае
производится численно посредством вычисления несобственных интегралов
вида (2.1.5.1).
      В случае однородной земли при k0 = 0,-h ≤ z < 0 формула (2.1.5.1)
принимает вид
               −λ  h + z                        
       J µ ∞  e  0  1 − p / λ −λ  h0 + z                Jµ 
  Ax = 0 ∫                    +    1 e           
                                                      cos λ yd λ =   0  I − 2 I + 2 I  ,
        π 0         λ           λ + p1                            2π  1 k 2 2      3 
                                                    
где I1, I2, I3 - табличные интегралы
                         ∞          −λ h cos λ y                      2 zh
                                                                          0
                    I = − ∫ sh λ ze        0          d λ = −arth             ,
                     1
                          0                      λ                h + y + z2
                                                                   2     2
                                                                   0
                           ∞ −λ  h0 − z 
                       I = ∫ λe               
                                                           (
                                                 cos λ yd λ =
                                                               0    )
                                                              h − z2 − y2
                                                                            ,
                        2 0
                                                           (        )
                                                              h − z2 + y2
                                                               0
                   ∞ p −λ  h0 − z 
              I = ∫ 1e                
                                                      (
                                         cos λ yd λ = 1,1
                                                                )
                                                       S α −iω S α ∗ −iω
                                                                     + 1,1
                                                                            (    .
                                                                                    )
               3 0 k2                                    2α −iω           2α −iω
В последней формуле S1,1 – функция Ломмеля, α = µσ  h − z + iy  .
                                                     0                (       )
                                               85