Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

83
Выбор функций (2.1.4.14) в качестве частных решений уравнения (2.1.4.4) и
общего решения в виде (2.1.4.15) автоматически обеспечивает непрерывность
функции
*
()az
z
. Требование непрерывности
*
1
da
z
dz
µ
на границах пластов
приводит к системе алгебраических уравнений относительно величин
m
a
,
m=1,…,N
В соответствии с формулой (2.1.4.13) на границе первого и второго
пластов должно выполняться равенство
11
( ( ) ( )) ( (0) (0))
0 1,1 1 1 2,1 1 1 1,2 2 2,2
12
aq h aq h aq aq
µµ
′′ ′′
+= +
. (2.1.4.16)
Если
0
a
известно, то
11 1 1
(() (0))( (0)) ()
1 2,1 1 1,2 2 2,2 0 1,1 1
12 2 2
aqh q a q a qh
µµ µ µ
′′ ′ ′
−+− =−
.
Введем обозначения
11
:() (0)
2, 1,
m
cqh q cthh
mm mm
mm
mmm
η
η
µµµ
′′
==−=
,
(2.1.4.17)
11
:() (0)
1, 2,
m
bqh q
mm
mm
s
hh
mmmmm
η
µµµη
′′
==−=−
.
В этих обозначениях уравнение (2.1.4.16) примет вид
()
11 2 22 01
ac c ab ab
+
+=−
.
Система уравнений для вычисления величин
m
a
, m=1,...,N-1
,
()
11 2 22 01
.................
( ) 0, 2,..., 2,
1111
.................
()0.
21 1 1
ac c ab ab
abacc ab m N
mmm
mmmm
ab a c c
N
NN N N
++ =−
+++ ==−
−+++
++=
−− − −
(2.1.4.18)
Коэффициент
c
N
получается из формул (2.1.4.17) при
N
h →∞
. Система имеет
трехдиагональную матрицу коэффициентов и решается прогонкой. В согласии
с работой [Ваньян,1965, 1997] в системе (2.1.4.18) коэффициент
0
a
равен
1
2
0
00
0
/
1
001
0
R
hh
aee
R
R
λ
η
λ
η
η
η
λλ
η
ηηη
η



=





−
−−
=+
+
+
. (2.1.4.19)
Поле в воздухе описывает соотношение
/
2
*
01
00
() 1
/
01 0
R
hz
az e e
z
R
ηη
η
η
λ
ηη η




−
−
=+
+
. (2.1.4.20) 
Выбор функций (2.1.4.14) в качестве частных решений уравнения (2.1.4.4) и
общего решения в виде (2.1.4.15) автоматически обеспечивает непрерывность
                                              1 da*z
функции a*z ( z ) . Требование непрерывности         на границах пластов
                                              µ dz
приводит к системе алгебраических уравнений относительно величин a m ,
m=1,…,N
     В соответствии с формулой (2.1.4.13) на границе первого и второго
пластов должно выполняться равенство
             1                                      1
                 (a q′ (h ) + a q′ (h )) =             (a q′ (0) + a q′ (0)) .           (2.1.4.16)
             µ1 0 1,1 1 1 2,1 1                    µ2 1 1,2           2 2,2
Если a0 известно, то
              1              1 ′                        1 ′                  1 ′
          a ( q′ (h ) −         q (0)) + a (−              q     (0)) = −a      q (h ) .
           1 µ 2,1 1 µ 1,2                      2 µ          2,2          0 µ 1,1 1
               1              2                          2                    2
Введем обозначения
                         1 ′                       1 ′            η
                  cm :=     q (hm ) = −                q (0) = m cthηm hm ,
                        µm 2,m                   µm 1,m           µm
                                                                                         (2.1.4.17)
                         1 ′                     1 ′                    ηm
                  bm :=     q (hm ) = −               q     (0) = −              .
                        µm 1,m                 µm 2,m               µm shηm hm
В этих обозначениях уравнение (2.1.4.16) примет вид
                                a (c + c ) + a b = −a b .
                                 1 1 2               2 2       01
Система уравнений для вычисления величин am , m=1,...,N-1
                        a (c + c ) + a b = − a b ,
                         1 1 2           2 2           01
                                .................
        
        a
         m−1bm + am (cm + cm+1) + am+1bm+1 = 0, m = 2,..., N − 2,                     (2.1.4.18)
        
                             .................
        
                a     b    +a          (c     + c ) = 0.
                    N −2 N −1 N −1 N −1 N
Коэффициент cN получается из формул (2.1.4.17) при hN → ∞ . Система имеет
трехдиагональную матрицу коэффициентов и решается прогонкой. В согласии
с работой [Ваньян,1965, 1997] в системе (2.1.4.18) коэффициент a0 равен
                               λη 
                             λ− 1
                         λ     η R  −η h    2λ        −η h
                      a = +     0 e 0 =              e 0 .                           (2.1.4.19)
                       0 η      η         η0 + η1 / R
                            0 η + 1
                              0 R 
                                  
Поле в воздухе описывает соотношение
                                   η −η / R −2η h  λ η z
                      a*z ( z ) = 1 + 0 1 e    0  e 0 .                              (2.1.4.20)
                                   η +η / R       η
                                      0 1          0

                                                83

Страницы