Введение в вейвлет-анализ. Юдин М.Н - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

48
носителем. С другой стороны, порой компактность носителя и не
требуется. Это допускает построение более гладких всплесков, а
также симметричных базисов. К таким вейвлетам относятся,
например, сплайновые всплески.
4.5. Сплайновые всплески
Всплески Лемарье-Баттла
Кардинальный B-сплайн порядка 1 – это характеристическая
функция на полуинтервале [0, 1):
)1,0[1
ч:)(N
=
x , (4.11)
Для m>1 кардинальный B-сплайн N
m
определяется как свертка:
,
∗
=
)(
N
)(
N
:)(
N
11-mm
xxx
(4.12)
Система {N
m
(⋅ – k)}
k ∈ Z
является базисом Рисса в подпространстве
{}
ZkkNspanclos
V
m
RL
∈
−
⋅
= |)(
)(
0
2
V
0
,
и для этих функций при каждом фиксированном m
∈
N справедливо
равенство:
∑
=
−
m
m
k
m
kxx
0
1-m
m
)2(NC2 = )(N . (4.13)
Как отмечалось при определении КРА, процесс
ортогонализации сводится к определению масштабирующей
функции
ϕ
(x), порождающей ортонормированный базис, через
масштабирующую функцию g(x), система целочисленных сдвигов
которой является базисом Рисса
. Этот процесс связывает
преобразования Фурье двух функций и определяется формулой
2
|)2(|
)(
2
1
:)(
∑
∈
+
=
Zk
kg
g
πω
ω
π
ωϕ
)
)
)
, (4.14)
Таким образом, если в качестве функции g(x) выбрать кардинальный
B-сплайн порядка m и провести процесс ортогонализации, то
полученная система будет ортонормированной в
L
2
(R). Она
называется базисом Лемарье-Баттла.
Ниже представлены соответствующие выкладки.
Поскольку
ϕ
(x) ∈ S
m-1
(Z)
I
L
2
(R), имеет место разложение: 
носителем. С другой стороны, порой компактность носителя и не
требуется. Это допускает построение более гладких всплесков, а
также симметричных базисов. К таким вейвлетам относятся,
например, сплайновые всплески.

                       4.5. Сплайновые всплески
                        Всплески Лемарье-Баттла
     Кардинальный B-сплайн порядка 1 – это характеристическая
функция на полуинтервале [0, 1):
                       N 1 ( x ) := ч [ 0,1) ,            (4.11)
Для m>1 кардинальный B-сплайн Nm определяется как свертка:
                       N m ( x ) := N m-1 ( x ) ∗ N 1 ( x ),  (4.12)
Система {Nm(⋅ – k)}k ∈ Z является базисом Рисса в подпространстве
V0 = clos L2
               (R)
                     span{N m (⋅ − k ) | k ∈ Z }
V0,
и для этих функций при каждом фиксированном m ∈ N справедливо
равенство:

                                            m
                     N m ( x) = 2   m -1
                                           ∑C
                                           k =0
                                                  k
                                                  m   N m (2 x − k ) .   (4.13)


     Как    отмечалось    при   определении     КРА,   процесс
ортогонализации сводится к определению масштабирующей
функции ϕ(x), порождающей ортонормированный базис, через
масштабирующую функцию g(x), система целочисленных сдвигов
которой является базисом Рисса. Этот процесс связывает
преобразования Фурье двух функций и определяется формулой
                                                  )
               )         1                        g (ω )
               ϕ (ω ) :=                                            ,    (4.14)
                         2π                )
                                       ∑
                                                          2
                                         | g (ω + 2π k ) |
                                       k ∈Z
Таким образом, если в качестве функции g(x) выбрать кардинальный
B-сплайн порядка m и провести процесс ортогонализации, то
полученная система будет ортонормированной в L2(R). Она
называется базисом Лемарье-Баттла.
     Ниже представлены соответствующие выкладки.
     Поскольку ϕ(x) ∈ Sm-1(Z) I L2(R), имеет место разложение:




                                                                             48

Страницы