Введение в вейвлет-анализ. Юдин М.Н - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

50
∑
∈
−
=
Zk
mk
kxx )(N)(
α
ϕ
, (4.15)
Здесь S
m-1
(Z) – множество сплайнов степени (m-1) с узлами в
целочисленных точках. Применяя преобразование Фурье к обеим
частям равенства, получаем:
)(N)(
ω
α
ω
ϕ
ω
m
k
ik
k
e
)
)
∑
∈
−
=
Z
, (4.16)
где
−
=
−
ω
ω
ω
i
e
N
i
m
1
)(
€
.
С другой стороны, согласно формуле (4.14),
2
|)2(N|
)(N
:)(
∑
∈
+
=
Zn
n
πω
ωϕ
)
)
)
, (4.17)
Приравнивая (4.16) и (4.17), получаем формулу для коэффициентов:
ω
πω
π
α
π
ω
d
n
e
n
m
ik
k
∫
∑
∈
+
=
2
0
2
|)2(N|
2
1
Z
)
, k ∈ Z (4.18)
По формуле Пуассона
∑∑
−
+−=
−
∈
+=+
1
1
2
2
)(N|)2(N|
m
mn
in
m
n
m
enmn
ω
πω
Z
)
и, следовательно,
ω
π
α
π
ω
ω
d
enm
e
m
mn
in
m
ik
k
∫
∑
−
+−=
−
+
=
2
0
1
1
2
)(N
2
1
, k ∈ Z. (4.19)
Определив таким образом коэффициенты α
k
, получаем
масштабирующую функцию
ϕ
(x), система целочисленных сдвигов
которой представляет собой ОНБ в подпространстве V
0
.
Теперь займемся подпространством всплесков W
0
. 
                         ϕ ( x ) = ∑α k N m ( x − k ) ,                                 (4.15)
                                        k ∈Z


Здесь Sm-1(Z) – множество сплайнов степени (m-1) с узлами в
целочисленных точках. Применяя преобразование Фурье к обеим
частям равенства, получаем:
                     )                                    )
                 ϕ (ω ) = ∑α k e                  − ikω
                                                          N m (ω ) ,                    (4.16)
                                      k ∈Z
где
                                             1 −  e − iω
                                                          
                                 N€m (ω ) =              .
                                                iω       
С другой стороны, согласно формуле (4.14),
                                                   )
                                                   N (ω )
               ϕ) (ω ) :=                  )                                  ,         (4.17)
                                       ∑
                                                           2
                                         | N (ω + 2π n ) |
                                       n∈Z


Приравнивая (4.16) и (4.17), получаем формулу для коэффициентов:

                            2π
                1                                 e ikω
          αk =
               2π            ∫            )                dω ,                   k∈Z   (4.18)
                                      ∑ | N m (ω + 2πn) |
                                                         2
                             0
                                      n∈Z


По формуле Пуассона
            )                                         m −1

         ∑ m                                          ∑N
                           2
          | N (ω + 2π n ) |  =                                   2m   ( m + n )e −inω
         n∈Z                                        n = − m +1


и, следовательно,
                2π
            1                           e ikω
      αk =
           2π   ∫          m −1
                                                                  dω ,    k ∈ Z.        (4.19)
                 0
                           ∑N
                         n = − m +1
                                       2m
                                             ( m + n )e − inω
Определив таким образом коэффициенты αk, получаем
масштабирующую функцию ϕ(x), система целочисленных сдвигов
которой представляет собой ОНБ в подпространстве V0.
     Теперь займемся подпространством всплесков W0.

                                                                                            50

Страницы