Введение в вейвлет-анализ. Юдин М.Н - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

51
Определив
ψ
(x) через преобразование Фурье по формуле
(4.10), аналогично (4.15) можем записать:
ψ
(x) = 2
∑
∈
−
Zk
mk
kx )2(N
β
. (4.20)
Переходя в частотную область, получаем:
)(N)(
2
2
ω
ω
βω
ψ
m
k
ik
k
e
)
)
∑
∈
−
=
Z
. (4.21)
Приравнивая правые части формул (4.10) и (4.21), определяем
коэффициенты β
k
:
ω
π
π
β
π
ω
ω
ω
d
n
Ge
n
m
ik
k
∫
∑
∈
+
=
2
0
2
2
2
|)2(N|
)(
2
1
2
1
2
Z
)
, k ∈ Z . (4.22)
Возникает вопрос – как вычислить G(
ω
)? Из условия
ортогональности следует:
)(
ω
G
=
)()(
πωω
ψ
+H ,
где
)(
ω
ψ
– некоторая 2π-периодическая функция,
удовлетворяющая условиям:
ν
ψ
(
ω
+
π
) = –
ν
ψ
(
ω
) и |
ν
ψ
(
ω
) | = 1
(обычно полагают
ν
ψ
(
ω
) = e
-i
ω
). Используя формулу (4.9), получаем
выражение для H(
ω
) как отношение двух преобразований Фурье:
H(
ω
) =
)(
)2(
2
ωϕ
ω
ϕ
)
)
,
где
)(
ω
ϕ
)
определяется по формуле (4.17).
Замечание. На основе B-сплайнов построено несколько
биортогональных базисов из всплесков. Например,
масштабирующая функция и всплеск Малла-Зонга определяются
через свои преобразования Фурье следующим образом:
12
2/
2/sin
)(
+
=
n
ω
ω
ωϕ
)
(4.23)
22
4/
4/sin
)(
+
=
n
ω
ω
ω
ψ
)
(4.24) 
       Определив ψ(x) через преобразование Фурье по формуле
(4.10), аналогично (4.15) можем записать:

                             ψ(x) = 2 ∑ β k N m ( 2 x − k ) .                                 (4.20)
                                         k ∈Z


Переходя в частотную область, получаем:
                     )                                        )
                     ψ (ω ) = ∑ β k e
                                                     −ik ω2
                                                              N m ( ω2 ) .                    (4.21)
                                      k ∈Z
Приравнивая правые части формул (4.10) и (4.21), определяем
коэффициенты βk:
                         2π                  ik ω2
            1 1                     e G ( ω2 )
      βk =
           2π 2          ∫          ) ω               dω ,                       k∈Z        . (4.22)
                                ∑ | N m ( 2 + 2πn) |
                                                    2
                         0
                                n∈Z

Возникает вопрос – как                               вычислить                G(ω)?   Из    условия
ортогональности следует:
                              G (ω ) = ν ψ (ω ) H (ω + π ) ,
где       ν ψ (ω )        –         некоторая                  2π-периодическая            функция,
удовлетворяющая условиям: νψ(ω + π) = – νψ(ω) и | νψ(ω) | = 1
(обычно полагают νψ(ω) = e-iω). Используя формулу (4.9), получаем
выражение для H(ω) как отношение двух преобразований Фурье:
                                                          )
                                                      ϕ ( 2ω )
                                    H(ω) =           2 )       ,
                                                       ϕ (ω )
      )
где ϕ (ω ) определяется по формуле (4.17).
Замечание. На основе B-сплайнов построено несколько
биортогональных      базисов     из      всплесков. Например,
масштабирующая функция и всплеск Малла-Зонга определяются
через свои преобразования Фурье следующим образом:

                                                                     2 n +1
                                           sin ω / 2 
                               ϕ (ω ) = 
                               )
                                                                                             (4.23)
                                          ω /2 
                                                                      2 n +2
                                           sin ω / 4 
                               ψ (ω ) = 
                                )
                                                                                             (4.24)
                                         ω /4 

                                                                                                  51

Страницы