Введение в вейвлет-анализ. Юдин М.Н - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

75
По аналогии с одномерным случаем первую производную
масштабирующей определим посредством соотношения:
=
=
),(
1
),(
1
),(
),(
:),(
2
2
σ
σ
ψ
σ
σσ
ψ
σ
ψ
ψ
ψ
σ
σ
σ
y
x
yx
yx
yx
yx
y
x
y
x
r
, (6.28)
где
),(),(),,(),( yx
y
yxyx
x
yx
yx
σσσσ
φσψφσ
ψ
∂
∂
=
∂
∂
= .(6.29)
Подобно (6.24) двумерное вейвлет-преобразование может быть
записано в виде
==
=
),(**),(
),(**),(),}(,{
yxgradyxU
yxyxUyxUW
σ
σσ
φ
ψ
ψ
r
r
),()),(**),(( yxgradUyxyxUgrad
s
σ
φ
σ
σ
=
=
. (6.30)
Равенство (6.30) показывает, что двумерное вейвлет-преобразование
функции U(x,y) посредством всплесков (6.28)-(6.29)
пропорционально первым производным от сглаженной функции
U
s
(x,y) (см. формулу (6.26)).
Локальные экстремумы
),}(,{ yx
W
σ
ψ
r
точно
соответствуют точкам наиболее быстрого изменения величин
),(**),( yxyx
σ
φ
. Кроме того, можно найти направление
наиболее резкого изменения функции
),}(,{ yx
W
σ
ψ
r
,
совпдающее с напрвлением вектора
),( yxgradU
s
.
6.5. Сжатие изображений
Одним из возможных применений вейвлетов в двумерном
пространстве является сжатие изображений. К настоящему времени
разработано много форматов хранения графических данных.
Например, хорошо известный формат JPEG, который использует
косинусное преобразование. Однако, как уже говорилось,
недостатком Фурье-анализа является бесконечность носителя его
базисных функций, чего лишены вейвлеты.
Идея сжатия посредством вейвлетов состоит в следующем. К
исходному изображению применяется двумерное дискретное 
По аналогии с одномерным случаем первую производную
масштабирующей определим посредством соотношения:

                                               1 x x y 
            r              ψ σ ( x, y )  σ 2 ψ (σ , σ ) 
                               x

           ψ σ ( x, y ) :=  y             =  1 y x y ,          (6.28)
                            ψ
                            σ  ( x , y )   ψ ( , )
                                              σ 2  σ σ 
где
                    ∂                                ∂
ψ σx ( x, y ) = σ      φσ ( x, y ), ψ σy ( x, y ) = σ φσ ( x, y ) .(6.29)
                    ∂x                               ∂y
     Подобно (6.24) двумерное вейвлет-преобразование может быть
записано в виде
                     r                             r
              W {U ,ψ σ }( x, y ) = U ( x, y ) * *ψ σ ( x, y )
             = U ( x, y ) * *gradφσ ( x, y ) =
      = σ grad (U ( x, y ) * *φσ ( x, y )) = σ gradU s ( x, y ) .   (6.30)

Равенство (6.30) показывает, что двумерное вейвлет-преобразование
функции        U(x,y)       посредством  всплесков     (6.28)-(6.29)
пропорционально первым производным от сглаженной функции
Us(x,y) (см. формулу (6.26)).
                                                   r
      Локальные             экстремумы     W {U ,ψ σ }( x, y ) точно
соответствуют       точкам наиболее быстрого изменения величин
U ( x, y ) * *φσ ( x, y ) . Кроме того, можно найти направление
                                                            r
наиболее      резкого      изменения     функции    W {U ,ψ σ }( x, y ) ,
совпдающее с напрвлением вектора         gradU s ( x, y ) .

                      6.5. Сжатие изображений
      Одним из возможных применений вейвлетов в двумерном
пространстве является сжатие изображений. К настоящему времени
разработано много форматов хранения графических данных.
Например, хорошо известный формат JPEG, который использует
косинусное преобразование. Однако, как уже говорилось,
недостатком Фурье-анализа является бесконечность носителя его
базисных функций, чего лишены вейвлеты.
      Идея сжатия посредством вейвлетов состоит в следующем. К
исходному изображению применяется двумерное дискретное


                                                                        75

Страницы