Введение в вейвлет-анализ. Юдин М.Н - 73 стр.

UptoLike

73
)/()(
)1(1)1(
σ
ψ
σ
ψ
σ
tt
=
и )/()(
)2(1)2(
σ
ψ
σ
ψ
σ
tt
=
,
которые найдены так, чтобы
d
t
td
t
)(
)(
)1(
σ
σ
φ
σ
ψ
=
с
)/(:)(
1
σ
φ
σ
ψ
σ
tt
=
. всплесков Вейвлет преобразование
функции
f(t) посредством
)(
)1(
t
ψ
и
)(
)2(
t
ψ
вычисля.тся по
формулам:
))(*)(()
)(
(*)(
)(*)())}((,{
)1()1(
ttf
d
t
d
d
t
td
tf
ttfttfW
σ
σ
σσ
φσ
φ
σ
ψ
ψ
=
=
=
(6.24)
и
))(*)((
)
)(
(*)()(*)())}((,{
2
2
2
2
2)2()2(
ttf
d
t
d
dt
td
tfttfttfW
σ
σ
σσ
φσ
φ
σψψ
=
==
Таким образом, вейвлет-преобразования
))}((,{
)1(
ttfW
σ
ψ
и
))}((,{
)2(
ttfW
σ
ψ
соответствуют первой и второй производным от
функции f(t), сглаженной посредством
)(t
φ
. При некотором
масштабе σ локальный экстремум функции
))}((,{
)1(
ttfW
σ
ψ
вдоль оси t соответствует пересечениям нулевой линии
))}((,{
)2(
ttfW
σ
ψ
с точками перегиба свертки функций f(t)* )(t
σ
φ
(см. рис. 6.1).
На рисунке 6.1 визуализированы две процедуры обнаружения точек
перегиба исходного сигнала. Локальные экстремума
))}((,{
)1(
ttfW
σ
ψ
дают точное положение этих точек благодаря
специальному выбору всплеска. Локальное экстремумы при
различных шкалах часто используются при анализа и обработке
сигнала. Положение точек перегиба исходного сигнала совпадает с
прохождением через нуль функции
))}((,{
)2(
ttfW
σ
ψ
.
       ψ σ(1) (t ) = σ −1ψ (1) (t / σ ) и ψ σ( 2 ) (t ) = σ −1ψ ( 2 ) (t / σ ) ,
которые найдены так, чтобы
                                                dφ σ ( t )
                              ψ σ(1) (t ) = σ
                                                  dt
с   ψ σ (t ) := σ −1φ (t / σ ) .     всплесков         Вейвлет              преобразование
функции f(t)         посредством        ψ (1) (t ) и ψ ( 2 ) (t ) вычисля.тся            по
формулам:
             W { f ,ψ σ(1) (t )}(t ) = f (t ) *ψ σ(1) (t ) =
                         dφ (t ) d                                                   (6.24)
              f (t ) * (σ σ ) = σ ( f (t ) * φσ (t ))
                           dt    dt
и
                                                                  d 2φσ (t )
W { f ,ψ σ (t )}(t ) = f (t ) *ψ σ
            (2)                          (2)
                                               (t ) = f (t ) * (σ       2
                                                                        2
                                                                             )
                                                                     dt
   d2
= σ 2 ( f (t ) * φσ (t ))
   dt
Таким      образом,         вейвлет-преобразования                 W { f ,ψ σ(1) (t )}(t ) и
W { f ,ψ σ( 2 ) (t )}(t )   соответствуют первой и второй производным от
функции f(t), сглаженной посредством φσ (t ) . При некотором
масштабе σ локальный экстремум функции W { f ,ψ σ ( t )}(t )
                                                   ( 1)

вдоль оси t соответствует пересечениям нулевой линии
W { f ,ψ σ( 2 ) (t )}(t ) с точками перегиба свертки функций f(t)*φσ (t )
(см. рис. 6.1).
На рисунке 6.1 визуализированы две процедуры обнаружения точек
перегиба        исходного сигнала.    Локальные     экстремума
W { f ,ψ σ(1) (t )}(t )
                  дают точное положение этих точек благодаря
специальному выбору всплеска. Локальное экстремумы при
различных шкалах часто используются при анализа и обработке
сигнала. Положение точек перегиба исходного сигнала совпадает с
прохождением через нуль функции W { f ,ψ σ
                                                             (2)
                                                                   (t )}(t ) .




                                                                                          73