Введение в вейвлет-анализ. Юдин М.Н - 71 стр.

                 2 N 0 −1 −1                                     N −1 2 j −1 −1
  u(t , x ) ≈      ∑v    N 0 −1
                                  N 0k   (t )ϕ N k ( x ) +
                                                0                ∑ ∑w
                                                                 j = N 0 k = −2   j −1
                                                                                           jk    (t )ψ jk ( x )         (6.21)
                k = −2



Масштабные        и   всплесковые    коэффициенты       являются
соответственно “усредненной” и “детализирующей” информацией о
функции u(x,t) в фиксированный момент времени t. Подставим (6.21)
в уравнение (6.18) и умножим слева на функции                                                            ϕ N l ( x)
                                                                                                                  0
                                                                                                                                 и

ϕ ql (x ) , а затем проинтегрируем по x от − ∞                                           до      + ∞ . Кроме того,
учтем ортогональность базисных функций (масштабирующей
функции и всплеска). В результате мы получим систему линейных
дифференциальных уравнений:


                                    dU (t ) 1
                                           = iQU (t ) ,                                                                 (6.22)
                                     dt     2

где вектор U (t ) и матрица                     Q       имеют следующий вид:


               w N −1                       AN −1 ... ANN −+12                        ANN −+11     ANN −1          BNN −1 
                                                                      0                   0            0              0
                                                                                                                              
               M                            M       O     M                             M            M                M 
    U (t ) :=  wN + 2  ,               Q =  ANN−1+2 ... AN +2
                                                    0
                                                                                     ANN ++120
                                                                                                      ANN + 2
                                                                                                         0
                                                                                                                      BNN + 2 
                                                                                                                         0

                        0
                                              N +1          N +1
                                                                         0                  0            0               0
                                                                                                                              
                w
               N +1     0
                                              AN −1 ... AN + 2
                                                    0                    0
                                                                         0
                                                                                     AN +1   0
                                                                                                      ANN +1
                                                                                                         0
                                                                                                         0
                                                                                                                      BNN +1 
                                                                                                                         0
                                                                                                                         0
               w                            AN      ... ANN + 2
                                                        0                0
                                                                                     ANN +1  0
                                                                                                       AN              BN 
               N            0
                                              N N −1                    0                   0                0              0
               v                           Γ                                                                        TN 
                                              N −1 ... ΓN + 2                       Γ                 ΓN
                                                             N                             N0
               N 
                                                        0                0
                              0                                         0                  N 0 +1            0               0

                                                                                                                        (6.23)


Здесь A , B , Γ, T – ленточные матрицы, элементы которых суть:


                                                            d2
                (A )
                                            ∞
                     n
                     m kl          := ∫ ψ nk                   2
                                                                ψ ml dx , Am
                                                                            m
                                                                              ≡ Am
                                           −∞               dx



                                                                                                                                 71