Дискретные модели системного анализа - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

32
δ
P,Q
(a,b) равным нулю, если порядок а и b совпадает в P и Q; равным двум, если в
одной ранжировке а лучше b, а в другой b лучше а; равным единице в остальных
случаях. Тогда функция d(P,Q) равна сумме значений δ
P,Q
(a,b) по всем
неупорядоченным парам {a,b} из А.
Покажем теперь, что определенная таким образом функция d удовлетворяет
аксиомам 1-4 для любого множества А, содержащего не менее двух элементов.
Аксиома 1.1 Все величины δ
P,Q
(a,b) неотрицательны, поэтому их сумма
также неотрицательна. Эта сумма равна нулю тогда и только тогда, когда каждый
ее член равен нулю, т.е. когда для всех а и b из А ранжировки P и Q совпадают.
Аксиома 1.2 Выполняется, поскольку δ
P,Q
(a,b) = δ
Q,Р
(a,b).
Аксиома 1.3 Определим величину δ
P
(a,b) следующим образом:
1, если aPb,
δ
P
(a,b) = -1, если bPa, (3.1)
0, если a,b равноценны в Р.
Тогда для всех a,b из А имеем
δ
P,Q
(a,b) = | δ
P
(a,b) – δ
Q
(a,b)|,
| δ
P
(a,b) – δ
Q
(a,b)| + | δ
Q
(a,b) – δ
R
(a,b)| ≥ | δ
P
(a,b) – δ
R
(a,b)|. (3.2)
Складывая неравенства (3.2) по всем парам {a,b}, получим
d(P,Q) + d(Q,R) ≥ d(P,R). (3.3)
Равенство в (3.3) может достигаться только тогда, когда в (3.2) имеется равенство
для всех a,b из А, что означает, что δ
Q
(a,b) находится между δ
P
(a,b) и δ
R
(a,b). Тогда
легко показать (упражнение 3.9), что равенство в (3.2) для всех a,b из А oзначает,
что B(P,Q,R).
Аксиома 2 Перестановка элементов А не влияет на d, поскольку означает
сложение в другом порядке тех же слагаемых δ
P,Q
(a,b).
Аксиома 3 Проверить самостоятельно (упражнение 3.10).
Аксиома 4 Поскольку δ
P,Q
(a,b) всегда является неотрицательным целым числом,
таким же свойством обладает и d(P,Q). Пусть a≠b, а P и Q имеют вид:

Страницы