ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
I. Дифференцирование с помощью пакета Maple
Пакет Maple предоставляет мощные средства для дифференциро-
вания функций и вычисления дифференциалов. Для вычисления про-
стейшей производной следует в командном окне после приглашения
Maple ввести команду следующего вида:
diff(<функция>,<переменная>);
здесь <функция> – выражение, задающее функцию (не обязательно
одной переменной), например
x^2+2*x+1
<переменная> – имя переменной, по которой будет вестись дифферен-
цирование, например x
Примером вычисления производной может служить такая коман-
да:
diff(x^2+2*x+1,x);
Для создания функций с производными может использоваться
дифференциальный оператор D, который может быть записан в виде:
D(<функция>); где <функция> – выражение, задающее функцию.
Например:
>D(sin);
cos
>D(ln);
a
a
1
→
Допустим и такой синтаксис вызова оператора D.
>
D(sin)(x);
cos(x)
Здесь в первой паре скобок после оператора D указывается функ-
ция, на которую действует D, а во второй паре скобок
− аргумент по-
лученной в результате функции (в данном случае D(sin)=cos).
С помощью команды
diff можно вычислять производные высших
порядков. При этом команда имеет следующий формат:
diff(<функция>,<переменная>$<порядок>);
где <порядок>
− порядок вычисляемой производной.
В решениях некоторых примеров этой главы с помощью Maple
будут использованы дополнительные команды Maple. Кратко опишем
их формат и назначение:
4
<переменная>:=convert(<выражение>,polynom); – представить
<выражение> в виде полинома, присвоив значение <переменной>.
factor(<выражение>); – разложить <выражение> на множители.
subs(<old>=<new>,<выражение>); – подставить выражение
<new> на место <old> в <выражении.
<переменная>=solve(<выр1>=<значение>,<выр2>);– присвоить
<переменной> значение выражения <выр2>, полученное разрешением
уравнения <выр1>(<выр2>)=<значение>.
simplify(<выражение>); – упростить <выражение>.
taylor(<f(x)>,x=<x0>,<n>+1); – разложить функцию f(x) по фор-
муле Тейлора с центром в точке
x0 до порядка n включительно.
II. Определение производной. Правила дифференцирования.
Таблица производных
Определение 1.
Производной функции )(xf в точке
x
называет-
ся
x
xfxxf
xf
x
∆
−∆+
=
′
→∆
)()(
lim)(
0
.
Из определения следуют правила дифференцирования:
1.
()
)()()()( xvxuxvxu
′
+
′
=
′
+ ;
2.
()
),()( xuxu
′
⋅=
′
⋅
αα
где cons
t
=
α
;
3.
()
)()()()()()( xuxvxvxuxvxu
′
+
′
=
′
⋅ ;
4.
,
)(
)()()()(
)(
)(
2
xv
xuxvxvxu
xv
xu
′
−
′
=
′
где 0)(
≠
xv ;
5.
()()()
)()()( xgxgfxgf
′
⋅
′
=
′
;
6.
()
,
)(
1
)(
)(
1
1
xfy
yf
xf
−
=
−
′
=
′
здесь
)(
1
xf
−
– функция, обратная к
)(xf .
На основании определения производной и формул 1) – 6) вычис-
ляются производные некоторых элементарных функций:
7.
,0)(
=
′
c где cons
t
=
c ;
8.
(
)
1−
=
′
αα
α
xx , const
=
α
;
9.
(
)
aaa
xx
ln=
′
при
1 ,0
≠
> aa
; в частности,
(
)
xx
ee =
′
;
<переменная>:=convert(<выражение>,polynom); – представить
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
<выражение> в виде полинома, присвоив значение <переменной>.
factor(<выражение>); – разложить <выражение> на множители.
I. Дифференцирование с помощью пакета Maple subs(=,<выражение>); – подставить выражение
на место в <выражении.
Пакет Maple предоставляет мощные средства для дифференциро- <переменная>=solve(<выр1>=<значение>,<выр2>);– присвоить
вания функций и вычисления дифференциалов. Для вычисления про- <переменной> значение выражения <выр2>, полученное разрешением
стейшей производной следует в командном окне после приглашения уравнения <выр1>(<выр2>)=<значение>.
Maple ввести команду следующего вида: simplify(<выражение>); – упростить <выражение>.
diff(<функция>,<переменная>); taylor(,x=,+1); – разложить функцию f(x) по фор-
здесь <функция> – выражение, задающее функцию (не обязательно муле Тейлора с центром в точке x0 до порядка n включительно.
одной переменной), например
x^2+2*x+1 II. Определение производной. Правила дифференцирования.
<переменная> – имя переменной, по которой будет вестись дифферен- Таблица производных
цирование, например x
Примером вычисления производной может служить такая коман- Определение 1. Производной функции f (x) в точке x называет-
да: f ( x + ∆x) − f ( x)
ся f ′( x) = lim .
diff(x^2+2*x+1,x); ∆x → 0 ∆x
Для создания функций с производными может использоваться Из определения следуют правила дифференцирования:
дифференциальный оператор D, который может быть записан в виде: ′
1. (u ( x) + v( x) ) = u ′( x) + v ′( x) ;
D(<функция>); где <функция> – выражение, задающее функцию.
′
Например: 2. (α ⋅ u ( x) ) = α ⋅ u ′( x), где α = const ;
>D(sin); ′
cos 3. (u ( x) ⋅ v( x) ) = u ′( x)v( x) + v ′( x)u ( x) ;
>D(ln); ′
1 u ( x) u ′( x)v( x) − v ′( x)u ( x)
a→ 4. = , где v( x) ≠ 0 ;
a v( x) v 2 ( x)
′
Допустим и такой синтаксис вызова оператора D. 5. ( f (g ( x) )) = f ′(g ( x) ) ⋅ g ′( x) ;
>D(sin)(x);
′
cos(x) 6. (f −1
( x) ) =
1
, здесь f −1 ( x) – функция, обратная к
Здесь в первой паре скобок после оператора D указывается функ- f ′( y ) y = f −1 ( x )
ция, на которую действует D, а во второй паре скобок − аргумент по- f (x) .
лученной в результате функции (в данном случае D(sin)=cos).
На основании определения производной и формул 1) – 6) вычис-
С помощью команды diff можно вычислять производные высших
ляются производные некоторых элементарных функций:
порядков. При этом команда имеет следующий формат:
diff(<функция>,<переменная>$<порядок>); 7. (c)′ = 0, где c = const ;
′
где <порядок> − порядок вычисляемой производной. 8. (x α ) = αx α −1 , α = const ;
В решениях некоторых примеров этой главы с помощью Maple
будут использованы дополнительные команды Maple. Кратко опишем ( )′
9. a x = a x ln a при a > 0, a ≠ 1 ; в частности, e x = e x ; ( )′
их формат и назначение:
3 4
