ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
<переменная>:=convert(<выражение>,polynom); – представить
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
<выражение> в виде полинома, присвоив значение <переменной>.
factor(<выражение>); – разложить <выражение> на множители.
I. Дифференцирование с помощью пакета Maple subs(=,<выражение>); – подставить выражение
на место в <выражении.
Пакет Maple предоставляет мощные средства для дифференциро- <переменная>=solve(<выр1>=<значение>,<выр2>);– присвоить
вания функций и вычисления дифференциалов. Для вычисления про- <переменной> значение выражения <выр2>, полученное разрешением
стейшей производной следует в командном окне после приглашения уравнения <выр1>(<выр2>)=<значение>.
Maple ввести команду следующего вида: simplify(<выражение>); – упростить <выражение>.
diff(<функция>,<переменная>); taylor(,x=,+1); – разложить функцию f(x) по фор-
здесь <функция> – выражение, задающее функцию (не обязательно муле Тейлора с центром в точке x0 до порядка n включительно.
одной переменной), например
x^2+2*x+1 II. Определение производной. Правила дифференцирования.
<переменная> – имя переменной, по которой будет вестись дифферен- Таблица производных
цирование, например x
Примером вычисления производной может служить такая коман- Определение 1. Производной функции f (x) в точке x называет-
да: f ( x + ∆x) − f ( x)
ся f ′( x) = lim .
diff(x^2+2*x+1,x); ∆x → 0 ∆x
Для создания функций с производными может использоваться Из определения следуют правила дифференцирования:
дифференциальный оператор D, который может быть записан в виде: ′
1. (u ( x) + v( x) ) = u ′( x) + v ′( x) ;
D(<функция>); где <функция> – выражение, задающее функцию.
′
Например: 2. (α ⋅ u ( x) ) = α ⋅ u ′( x), где α = const ;
>D(sin); ′
cos 3. (u ( x) ⋅ v( x) ) = u ′( x)v( x) + v ′( x)u ( x) ;
>D(ln); ′
1 u ( x) u ′( x)v( x) − v ′( x)u ( x)
a→ 4. = , где v( x) ≠ 0 ;
a v( x) v 2 ( x)
′
Допустим и такой синтаксис вызова оператора D. 5. ( f (g ( x) )) = f ′(g ( x) ) ⋅ g ′( x) ;
>D(sin)(x);
′
cos(x) 6. (f −1
( x) ) =
1
, здесь f −1 ( x) – функция, обратная к
Здесь в первой паре скобок после оператора D указывается функ- f ′( y ) y = f −1 ( x )
ция, на которую действует D, а во второй паре скобок − аргумент по- f (x) .
лученной в результате функции (в данном случае D(sin)=cos).
На основании определения производной и формул 1) – 6) вычис-
С помощью команды diff можно вычислять производные высших
ляются производные некоторых элементарных функций:
порядков. При этом команда имеет следующий формат:
diff(<функция>,<переменная>$<порядок>); 7. (c)′ = 0, где c = const ;
′
где <порядок> − порядок вычисляемой производной. 8. (x α ) = αx α −1 , α = const ;
В решениях некоторых примеров этой главы с помощью Maple
будут использованы дополнительные команды Maple. Кратко опишем ( )′
9. a x = a x ln a при a > 0, a ≠ 1 ; в частности, e x = e x ; ( )′
их формат и назначение:
3 4
