Дифференцирование функций. Юмов И.Б - 2 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

3
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
I. Дифференцирование с помощью пакета Maple
Пакет Maple предоставляет мощные средства для дифференциро-
вания функций и вычисления дифференциалов. Для вычисления про-
стейшей производной следует в командном окне после приглашения
Maple ввести команду следующего вида:
diff(<функция>,<переменная>);
здесь <функция> – выражение, задающее функцию (не обязательно
одной переменной), например
x^2+2*x+1
<переменная> – имя переменной, по которой будет вестись дифферен-
цирование, например x
Примером вычисления производной может служить такая коман-
да:
diff(x^2+2*x+1,x);
Для создания функций с производными может использоваться
дифференциальный оператор D, который может быть записан в виде:
D(<функция>); где <функция> – выражение, задающее функцию.
Например:
>D(sin);
cos
>D(ln);
a
a
1
Допустим и такой синтаксис вызова оператора D.
>
D(sin)(x);
cos(x)
Здесь в первой паре скобок после оператора D указывается функ-
ция, на которую действует D, а во второй паре скобок
аргумент по-
лученной в результате функции (в данном случае D(sin)=cos).
С помощью команды
diff можно вычислять производные высших
порядков. При этом команда имеет следующий формат:
diff(<функция>,<переменная>$<порядок>);
где <порядок>
порядок вычисляемой производной.
В решениях некоторых примеров этой главы с помощью Maple
будут использованы дополнительные команды Maple. Кратко опишем
их формат и назначение:
4
<переменная>:=convert(<выражение>,polynom); представить
<выражение> в виде полинома, присвоив значение <переменной>.
factor(<выражение>); разложить <выражение> на множители.
subs(<old>=<new>,<выражение>); подставить выражение
<new> на место <old> в <выражении.
<переменная>=solve(<выр1>=<значение>,<выр2>); присвоить
<переменной> значение выражения <выр2>, полученное разрешением
уравнения <выр1>(<выр2>)=<значение>.
simplify(<выражение>); упростить <выражение>.
taylor(<f(x)>,x=<x0>,<n>+1); разложить функцию f(x) по фор-
муле Тейлора с центром в точке
x0 до порядка n включительно.
II. Определение производной. Правила дифференцирования.
Таблица производных
Определение 1.
Производной функции )(xf в точке
x
называет-
ся
x
xfxxf
xf
x
+
=
)()(
lim)(
0
.
Из определения следуют правила дифференцирования:
1.
()
)()()()( xvxuxvxu
+
=
+ ;
2.
()
),()( xuxu
=
αα
где cons
t
=
α
;
3.
()
)()()()()()( xuxvxvxuxvxu
+
=
;
4.
,
)(
)()()()(
)(
)(
2
xv
xuxvxvxu
xv
xu
=
где 0)(
xv ;
5.
()()()
)()()( xgxgfxgf
=
;
6.
()
,
)(
1
)(
)(
1
1
xfy
yf
xf
=
=
здесь
)(
1
xf
функция, обратная к
)(xf .
На основании определения производной и формул 1) – 6) вычис-
ляются производные некоторых элементарных функций:
7.
,0)(
=
c где cons
t
=
c ;
8.
)
1
=
αα
α
xx , const
=
α
;
9.
(
)
aaa
xx
ln=
при
1 ,0
> aa
; в частности,
(
)
xx
ee =
;