Дифференцирование функций. Юмов И.Б - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

9
()
=
′
=
− )1()( nn
yy
=
−+
22
2cos2
ππ
nx
n
+ nx
n
2
2sin2
π
, т.к.
α
π
α
sin
2
cos =
−
.
Примененный способ доказательства называется методом полной
математической индукции. Впрочем, по индукции можно доказать
формулу
+= nxx
n
2
sin)(sin
)(
π
, а затем, применив ее и формулу
+= nxy
nn
2
2sin2
)(
π
, получить выражение для
)(
)2(sin
n
x .
Пример 8.
Посчитаем 2-ю производную из примера 3, проиллю-
стрировав применение логарифмического дифференцирования для
нахождения старших производных.
Решение:
−=
′
= x
xx
x
yxy
x
x
lnln2
ln
1)(ln
,)(ln
3
1
1
2
2
.
Продифференцируем
y
′
⇒ ⋅
−
′
=
′′
6
1
23
1
22
)(ln3)(ln
x
xxxx
y
xx
−
−=
−−+
−⋅ x
xx
x
xxxxx
x
x
x
xx
lnln3
ln
1)(ln
ln
2
ln
1)(ln
lnln2
ln
1
6
1
23
1
22
Рис. к примеру 7
10
⋅=
+⋅−
−⋅
−
4
1
23
1
1
4
22
2
)(ln
ln
2
ln
1)(ln
lnln2
ln
1
)(ln
2
x
x
xxxxx
x
x
x
x
x
xx
x
−−
−
−−⋅
xx
x
xx
x
xx ln
2
ln
1
lnln2
ln
1
3
lnln2
ln
1
222
. При вычислении
y
′′
использовалась уже найденная в примере 3
−=
′
x
xx
x
y
x
lnln2
ln
1)(ln
3
1
2
.
Пример решения с использованием Maple:
>factor(diff(ln(x)^(1/x^2),x$2));
ln(x)^(1/x^2)*(4*ln(ln(x))^2*ln(x)^2-
4*ln(ln(x))*ln(x)+1+6*x^2*ln(ln(x))*ln(x)^2-5*x^2*ln(x)-x^2)/
x^6/ln(x)^2
Операция factor использована здесь для разложения результата на
множители.
Пример 9. Найдем 2-ю производную )(xy
′
′
для верхней и нижней
половин эллипса, заданного параметрически, из примера 5:
=
=
tby
tax
sin
cos
−=
′
=
t
a
b
xy
tax
ctg)(
cos
Решение:
ta
b
ta
ta
b
dt
dx
xy
dt
d
y
32
2
sin
1
sin
sin
1
)(
−=
−
=
′
=
′′
. Заметим, что вто-
рая производная, как и первая, задана параметрически:
−=
′′
=
ta
b
xy
tax
32
sin
1
)(
cos
Пример решения с использованием Maple:
>diff(S,t)/diff(a*cos(t),t);
-(b/a+b*cos(t)^2/a/sin(t)^2)/a/sin(t)
*
значение S было присвоено в примере 5

Страницы