ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
13
Приближение функции в окрестности точки
o
x многочленом
может быть удобно в работе с этой функцией.
++−
′′
+−
′
+= ...))((
2
1
))(()()(
2
ooooo
xxxfxxxfxfxf
)())((
!
1
oo
)(
xRxxxf
n
n
nn
+−+ ,
где остаточный член )(
xR
n
, например, в форме Лагранжа, имеет вид
1
o
oo
)1(
)(
)!1(
))((
)(
+
+
−
+
−+
=
n
n
n
xx
n
xxxf
xR
θ
,
где
10 <<
θ
(вообще говоря,
θ
зависит от
x
и
0
x ).
Справедливы следующие формулы Маклорена (формулы Тейлора
при 0
o
=x ) для некоторых элементарных функций:
1.
n
n
k
k
x
R
k
x
e +≈
∑
=0
!
.
2.
n
n
k
k
k
R
k
x
x +
+
−≈
∑
=
+
0
12
)!12(
)1(sin
.
3.
n
n
k
k
k
R
k
x
x +−≈
∑
=0
2
)!2(
)1(cos
.
4.
n
k
n
k
Rx
k
k
x +⋅
+−⋅⋅−
+≈+
∑
=1
!
)1(...)1(
1)1(
ααα
α
.
5.
n
n
k
k
k
R
k
x
x +
+
−≈
∑
=
+
0
12
12
)1(arctg .
6.
n
n
k
k
k
R
k
x
x +−≈+
∑
=
+
1
1
)1()1ln( .
Пример 12. Разложить многочлен 32
23
−++= xxxy по степеням
)1(
+x
.
Решение: 223
2
++=
′
xxy , 26 +=
′′
xy , 6
=
′
′
′
y , 5)1(
−
=
−
y ,
3)1(
=
−
′
y , 4)1( −=−
′′
y , 6)1(
=
−
′
′
′
y .
32
)1()1(2)1(35 +++−++−= xxxy .
Пример решения с использованием Maple:
>taylor(x^3+x^2+2*x-3,x=-1,4);
-5+3*(x+1)-2*(x+1)^2+1*(x+1)^3
14
Формула Тейлора n-го порядка точна для многочлена порядка n
(
0=
n
R ).
Пример 13. Вычислить приближенно с помощью первого диффе-
ренциала
°5tg .
Решение:
≈=−=∆=∆===°
36
tg0tg
36
tg ,
36
,0 ,tg ,
36
5
o
ππππ
yxxxy
087,0
3636cos
1
)(tg
0
2
0
≈=⋅=∆⋅
′
=≈
=
=
ππ
x
x
x
xxdy
. Итак,
087,05tg
≅
° .
Пример решения с использованием Maple:
>convert(subs(x=(Pi/36),taylor(tan(x),x=0,2)),polynom);
π
36
В примере 13 неизвестна точность приближенного вычисления.
Покажем, как с помощью формулы Тейлора можно производить вы-
числения с гарантированной точностью.
Пример 14. Вычислить с точностью
5
10
−
=
ε
°28sin
.
Решение:
90
2 ,
6
30 ,sin
0
ππ
−=°−=∆=°== xxxy .
⋅
+
=
∆+=−+=
+
x
n
n
xxxxy
n
y
R
θθ
0
)
0
(
0
)!1(
)(sin
1
11
90)!1(
1
90
++
+
≤
⋅
nn
n
ππ
.
5
2
1
10
100
9
18090
−
>≈
⋅
≤
π
R .
5
33
3
2
10
162000
1
690
27
690
−
<=
⋅
≈
⋅
≤
π
R . Итак,
2=n гарантирует заданную точность.
≈−−≅−−=
−−≈° 00030,003023,0
2
1
32400180
3
2
1
904
1
902
3
2
1
28sin
2
2
ππππ
46947,0≈
.
Пример решения с использованием Maple:
>C:=taylor(sin(x),x=Pi/6,5);
:= C + − − + +
1
2
3
2
− x
π
6
1
4
− x
π
6
2
3
12
− x
π
6
3
1
48
− x
π
6
4
O
− x
π
6
5
>V:=subs(x=7/45*Pi,C); convert(evalf(V),polynom);
