Дифференцирование функций. Юмов И.Б - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

11
Пример 10. Найдем
)(xy
′
′
для верхней и нижней половин эллип-
са, заданного неявно (см. пример 6):
ya
xb
y
b
y
a
x
2
2
2
2
2
2
,1 −=
′
=+ .
Решение: Продифференцируем y
′
по
x
:
⋅−=
′
−=
′′
2
2
2
2
a
b
ya
xb
y
+−=
′
−
⋅
ya
xb
y
ya
b
y
xyy
2
22
22
2
2
. Итак,
+−=
′′
ya
xb
y
ya
b
y
2
22
22
2
. 2-я произ-
водная неявной функции, как и первая, выражается как через
x
, так и
через
y .
Пример решения с использованием Maple:
>subs(diff(y(x),x)=Q,diff(Q,x));
-b^2/y(x)/a^2-x^2*b^4/y(x)^3/a^4
*
Значение Q было присвоено в примере 6
V. Дифференциалы
Определение 3.
Если приращение функции )(xfy
=
:
)()( xfxxfy −∆+=∆ , соответствующее приращению аргумента
x
∆
,
может быть представлено в виде
)()()( xoxAxfxxfy ∆+∆=−∆+=∆ ,
где
A не зависит от x
∆
, но зависит, вообще говоря, от
x
, то функция
)(xfy = называется дифференцируемой в точке
x
. Здесь )( xo ∆ –
бесконечно малая более высокого порядка малости, чем
x
∆
, т.е.
0
)(
lim
0
=
∆
∆
→∆
x
xo
x
.
Можно доказать, что
dx
xdf
A
)(
=
. Таким образом, существование
производной у функции )(xf в точке
x
эквивалентно ее дифференци-
руемости в этой точке по определению 3.
Определение 4. Главная линейная часть приращения дифференцируе-
мой функции xxfxA
∆
′
=
∆ )( называется ее дифференциалом.
Дифференциал )(xdf является функцией двух аргументов –
x
и
x∆ . Рассмотрев функцию
y = , убедимся, что xdx
∆
≡
(дифференци-
ал независимой переменной совпадает с ее приращением). Дифферен-
циалы старших порядков определяются индуктивно.
12
Определение 5. Дифференциалом n-го порядка функции )(xf ( 2≥n )
называется дифференциал от (
n-1)-го дифференциала этой функции.
При этом
fd
n )1( −
считается функцией только x (но не
xdx ∆≡
), т.е.
(
)
(
)
nnnnnn
dxxfdxxfdfddfd ))(())((
)()1()1()1(
===
−−−
.
Соотношение
1)1()1(
))((
−−−
=
nnn
dxxffd
выполняется, например,
для
n–1=1. Методом индукции из этого следует справедливость
аналогичного выражения для
n-го дифференциала при любом 2≥n .
Пример 11. Вычислить 1-й и 2-й дифференциалы функции
xxy arcsin1
2
−=
.
Решение:
dx
x
xx
dx
x
xx
x
x
dxydy
−
−=
−
−
−
−
=
′
=
222
2
1
arcsin
1
1
arcsin
1
1
.
=
′
−
−=
′′
=
2
2
22
)(
1
arcsin
1)( dx
x
x
dxyyd
=
−
−
+−
+
−
−
2
2
2
2
2
2
)(
1
arcsin1
1arcsin
1
dx
x
xx
x
xx
x
x
() ()
2
2
3
2
2
2
2
3
2
222
)(
1
arcsin1
)(
1
)1(arcsin1
dx
x
xxx
dx
x
xxxxx
−
+−
−=
−
+−+−
−=
.
Пример решения с использованием Maple:
>X:=subs(D(arcsin(x))=diff(arcsin(x),x)*D(x),D(sqrt(1-
x^2)*arcsin(x)));
X := -D(x)*x/(1-x^2)^(1/2)*arcsin(x)+D(x)
>F:=subs(D(D(x))=0,D(arcsin(x))=diff(arcsin(x),x)*D(x),
D(X));
F:=-D(x)^2/(1-x^2)^(1/2)*arcsin(x)-D(x)^2*x^2/(1-
x^2)^(3/2)*arcsin(x)-D(x)^2*x/(1-x^2)
>simplify(F);
(x*(1-x^2)^(1/2)+arcsin(x))*D(x)^2/(1-x^2)^(1/2)/(-1+x^2)
VI. Приложения производных и дифференциалов
1. Формула Тейлора.

Страницы