ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
15
:= V − − + + +
1
2
3 π
180
π
2
32400
3 π
3
8748000
π
4
3149280000
O −
π
5
5904900000
0.4694715632
2. Правило Лопиталя. Справедлива теорема.
Теорема 1. Пусть в некоторой окрестности точки
0
x , кроме, быть
может, самой этой точки, 2 функции
)(x
ϕ
и )(x
ψ
, одновременно бес-
конечно малые или бесконечно большие, дифференцируемы и
0)( ≠
′
x
ψ
. При этом, если
)(
)(
lim
0
x
x
xx
ψ
ϕ
′
′
∃
→
, то
)(
)(
lim
0
x
x
xx
ψ
ϕ
→
∃ и они равны.
Пример 15.
Вычислить
)2ln(cos
)ln(cos
lim
0
x
x
x→
.
Решение.
=⋅==
−
−
=
→→→→→
x
x
x
x
xx
xx
x
x
x
x
x
x
xxxxx
cos
2cos
lim
2sin
sin
lim
2
1
cos2sin
2cossin
lim
2
1
2cos
2sin2
cos
sin
lim
)2ln(cos
)ln(cos
lim
00000
4
1
2
1
2
1
1
2cos2
cos
lim
2
1
0
=⋅=⋅=
→
x
x
x
.
Пример решения с использованием Maple:
>limit(ln(cos(x))/ln(cos(2*x)),x=0);
1/4
Пример 16. Вычислить Ax
x
x
=−
→
2
tg
1
)2(lim
π
.
Решение.
⋅=−=−=−=
→→→→
2
sinlim)2ln(
2
cos
2
sin
lim)2ln(
2
tglim)2ln(limln
111
2
tg
1
x
x
x
x
x
x
xA
xxx
x
x
π
π
π
π
π
π
πππ
2
2
sin
2
2
1
lim
2
cos
)2ln(
lim
11
=
−
=
−
⋅
→→
x
x
x
x
xx
π
2
eA =⇒ .
Пример решения с использованием Maple:
>limit((2-x)^tan(Pi*x/2),x=1);
16
π
2
e
Пример 17. Вычислить xx
x
π
ctglim
0→
.
Решение.
πππ
π
π
π
π
π
π
π
11
sin
lim
sin
lim
1
sin
lim
1
ctg
limctglim
2
22
0
2
2
0
2
2
000
=⋅==
−
−
==
→→→→→
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
xxxxx
.
Пример решения с использованием Maple:
>limit(x*cot(Pi*x),x=0);
π
1
3. Рассмотрим некоторые геометрические приложения производ-
ной. Уравнение касательной к графику функции )(xfy
=
в точке
()
)(,
00
xfx имеет вид ))((
000
xxxfyy
−
′
+
=
. Если ∞=
′
)(
0
xf , то
уравнение касательной
0
xx
=
. Уравнение нормали к графику в этой
точке –
)(
)(
1
0
0
0
xx
xf
yy −
′
−= . Если 0)(
0
=
′
xf , то уравнение норма-
ли
0
xx
=
.
Пример 18. Написать уравнения касательной и нормали к графику
функции
1
22
=+ yx
в точке
2
1
,
2
1
M .
Решение. Вычислим
=
−−=−=
′
−=
′
⇒=
′
+
′
2
1
2
1
;1)( ,022 :)( xyMy
y
x
yyyxxy
к
x−= 2
– уравнение касательной; xxy
н
=
−+=
2
1
2
1
– уравне-
ние нормали.
Пример решения с использованием Maple:
>V:=diff(x^2+y(x)^2,x);
V:=2*x+2*y(x)*diff(y(x),x)
>W:=solve(V=0,diff(y(x),x));
W:=-x/y(x)
