Дифференцирование функций. Юмов И.Б - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

7
()
;
)2(3
1
)1(3
2
2
7
3
5
)1(2
1
ln
−
−
+
−
+
+
+
+
−
=
′
=
′
xxxxxy
y
y
−
−
+
−
+
+
+
+
−
−+
++−
=
′
)2(3
1
)1(3
2
2
7
3
5
)1(2
1
)2()1(
)2()3()1(
3
2
75
2
1
xxxxx
xx
xxx
y .
Пример решения с использованием Maple:
>simplify(diff(((x-1)^(1/2)*(x+3)^5*(x+2)^7)/((x+1)^2*(x-
2))^(1/3),x));
1/2*(23*x^4+12*x^3-143*x^2-
16*x+100)*(x+3)^4*(x+2)^6/((x+1)^2*
(x-2))^(1/3)/(x-2)/(x+1)/(x-1)^(1/2)
2. Дифференцирование параметрически заданных функций :)(xy
=
=
)(
)(
ty
tx
ψ
ϕ
производится по формуле
)(
)(
)(
t
t
xy
ϕ
ψ
′
′
=
′
.
Пример 5. Вычислить ),(xy
′
если
=
=
tby
tax
sin
cos
Решение: t
a
b
ta
tb
ta
tb
xy ctg
sin
cos
)cos(
)sin(
)( −=−=
′
′
=
′
. Заметим, что
)(xy
′
представляет собой, как и )(xy , параметрически заданную
функцию:
−=
′
=
t
a
b
xy
tax
ctg)(
cos
Пример решения с использованием Maple:
>S:=diff(b*sin(t),t)/diff(a*cos(t),t);
S:=-b*cos(t)/a*sin(t)
3.
Производную )(xy
′
функции )(xy , заданной неявно в виде
уравнения 0),(
=
yxF , можно вычислить (при условии 0
≠
′
y
F ), диф-
ференцируя тождество, полученное при подстановке в уравнение его
решения )(
xy : 0))(,(
=
xyxF по
x
. Получим выражение, в которое
линейно войдет
)(xy
′
. Его можно разрешить относительно )(xy
′
.
Пример 6. Рассмотрим неявное задание эллипса из примера 5:
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
. Найдем
)(xy
′
, дифференцируя уравнение эллипса, пола-
гая в нем
x
независимой переменной, а y –функцией от
x
; получим
8
ya
xb
y
a
x
y
b
y
b
yy
a
x
2
2
2222
22
0
22
−=
′
⇒−=
′
⇒=
′
+
. Заметим, что производная
)(
xy
′
выражена не только через
x
, но и через y . Это естественно, так
как на эллипсе значению ),(
aax
−
∈
соответствуют 2 точки с ордина-
тами
22
1
xa
a
b
y −=
и
22
2
xa
a
b
y −−=
. Производные 2-х различ-
ных функций
)(
1
xy
и )(
2
xy в точке
x
, вообще говоря, различны.
Пример решения с использованием Maple:
>Z:=diff(x^2/a^2+y(x)^2/b^2,x);
Z:= 2*x/a^2+2*y(x)/b^2*diff(y(x),x)
>Q:=solve(Z=0,diff(y(x),x));
Q:= -x*b^2/y(x)/a^2
IV. Старшие производные функции одной переменной
Определение производной n -го порядка функции )(xf имеет ин-
дуктивный характер.
Определение 2. Производной порядка
1>n
функции )(xf назы-
вается
(
)
′
=
−
)()(
)1()(
xyxy
nn
.
Таким образом,
n
-я производная определяется и вычисляется
через )1(
−
n -ю, та – через )2(
−
n -ю, и т.д.
Пример 7. Вычислить производную n -го порядка функции
xy 2sin= .
Решение:
xy 2cos2
′
;
xy 2sin4
−
=
′
′
;
xy 2cos8
−
=
′
′
′
;
xy 2sin16
)4(
=
…
+= nxy
nn
2
2sin2
)(
π
.
Последняя формула является предположением, основанным на
предыдущих 4-х строчках. Для
4,3,2,1
=
n она выполняется. Предпо-
ложим, что «угаданная» формула для производной
)1(
n -го порядка
верна. Покажем, что тогда она верна и для
n
-й производной. Пусть
()
−+=
−−
1
2
2sin2
1)1(
nxy
nn
π
. Продифференцируем последнее равен-
ство по
x
:

Страницы