Свободные колебания упругой системы с одной степенью свободы. Уткин А.В. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НГТУ | Нижний Новгород

Составители: 

Рубрика: 

4
Теоретическая круговая частота свободных колебаний без учета сопро-
тивления определяется по формуле:
N
M
λ =
, 1/с,
(1)
где N — коэффициент жесткости системы (Н/м),
М — величина массы на конце балки (кг).
Коэффициент жесткости, исходя из схемы балки (рис. 1):
3
3
EI
N
l
= , (Н/м),
(2)
где Е = 0,7×10
11
Па — модуль Юнга для сплава АМг,
12
bh
I =
= 173×10
–12
м
4
.
Тогда
11 12
3
3 0,7 10 173 10
Н
1055
м
0,325
N
−
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= =
.
Если бы учитывалась масса балки при колебаниях, то частоту
основного тона колебаний следовало определять по следующей при-
ближенной формуле:
2
Б
1 6
33
2
70
EIl
l
M m
λ =
+
,
(3)
где m
Б
= ρ l b h — масса балки,
ρ = 2700 кг/м
3
— плотность сплава АМг;
m
Б
= 2700 ⋅ 0,325 ⋅ 0,325 ⋅ 0,004 = 0,114 (кг).
Однако, суммарная масса на конце балки при эксперименте всегда
много больше массы балки
Б
10
M
m
>
, поэтому массу балки можно не учиты-
вать (как показывают расчеты по формуле (3), погрешность в частоте коле-
баний не превосходит 1%).
M
MM
M
N
NN
N
Рис. 3. Условная схема для упругой системы с одной степенью свободы. 
                                           N

                                      M
      Рис. 3. Условная схема для упругой системы с одной степенью свободы.

      Теоретическая круговая частота свободных колебаний без учета сопро-
тивления определяется по формуле:
                                             N
                                     λ=         , 1/с,                           (1)
                                             M
где N — коэффициент жесткости системы (Н/м),
      М — величина массы на конце балки (кг).
      Коэффициент жесткости, исходя из схемы балки (рис. 1):
                                          3EI
                                   N = 3 , (Н/м),                                (2)
                                           l
где Е = 0,7×1011 Па — модуль Юнга для сплава АМг,
          bh3
       I=      = 173×10–12 м4.
           12
                  3 ⋅ 0,7 ⋅ 1011 ⋅ 173 ⋅ 10−12          Н
      Тогда N =                                 = 1055     .
                             0,3253                     м
      Если бы учитывалась масса балки при колебаниях, то частоту
основного тона колебаний следовало определять по следующей при-
ближенной формуле:
                                      1        6 EIl
                               λ= 2                      ,
                                     l 2M + 33 m                                 (3)
                                                       Б
                                                  70
где       mБ = ρ l b h — масса балки,
          ρ = 2700 кг/м3— плотность сплава АМг;
                   mБ = 2700 ⋅ 0,325 ⋅ 0,325 ⋅ 0,004 = 0,114 (кг).
      Однако, суммарная масса на конце балки при эксперименте всегда
                                    M
много больше массы балки                 > 10 , поэтому массу балки можно не учиты-
                                   mБ
вать (как показывают расчеты по формуле (3), погрешность в частоте коле-
баний не превосходит 1%).


                                                                                  4

Страницы