Составители:
Рубрика:
114
– подобрать диаметр бруса сплошного круглого сечения;
– построить эпюру углов закручивания сечений.
РЕШЕНИЕ
А. Раскрытие статической неопределимости
и построение эпюры крутящих моментов
1. Статическая сторона задачи.
X
M0;
=
∑
;0MMMM
B21A
=
−
+−
AB12
MMMM352 кНм.
−
=+=−=−
Здесь М
А
и М
В
– опорные реакции в заделках, действующие в
плоскостях, перпендикулярных оси стержня. Их направление
выбрано произвольно.
Получили одно уравнение, содержащее два неизвестных,
т.е. рассматриваемая задача один раз статически неопределима.
2.
Геометрическая сторона задачи.
Для получения дополнительного уравнения рассмотрим ус-
ловие совместности деформаций отдельных участков.
Определим полный угол закручивания правого концевого
сечения бруса по отношению к левому сечению. Он определяет-
ся как сумма углов закручивания трех участков и равен нулю.
B123
0.
α
=ϕ +ϕ +ϕ =
3.
Физическая сторона задачи.
Используем закон Гука при кручении для определения ϕ
i
:
1
t1
1
P
M
;
GI
ϕ=
l
2
t 2
2
P
M
;
GI
ϕ=
l
3
t 3
3
P
M
.
GI
ϕ=
l
Методом сечений получим выражения для определения
крутящих моментов
i
t
M из условия равновесия правой отсечен-
ной части:
1
t12B B B
MMMM35M 2M;=−+ =−+ =−+
2
t2B B
MMM5M;=− + =− +
М
t
3
= М
В
.
Эти выражения подставим в соотношение α
В
= ϕ
1
+ ϕ
2
+ ϕ
3
= 0:
B3
B1 B2
B
PPP
M
(2 M) (5 M)
0.
G I G I G I
−
+−+
α= + + =
l
ll
115
Отсюда найдем значение опорной реакции M
B
:
BBB
(2 M)0,5 (5 M)1,5 M 1 0.
−
+⋅+−+⋅+⋅=
М
В
= 2,83 кН·м.
4.
Построение эпюры крутящих моментов.
Зная величину опорной реакции, определяем значения кру-
тящих моментов на всех грузовых участках:
1
t
M 2 2,83 0,83 кН м;
=
−+ = ⋅
2
t
M 5 2,83 2,17 кН м;
=
−+ =− ⋅
3
t
M 2,83 кН м.
=
⋅
Эпюра
t
M изображена на рис. 6.8б.
Б. Подбор сечения
Используя условие прочности при кручении по формуле
(6.4) определяем требуемый полярный момент сопротивления
поперечного сечения.
t
TP 3 3 3
max
P
3
S
M
2,83 кН м
W0,007210 м 72 см .
R4010 кПа
−
⋅
== =⋅=
⋅
Полярный момент сопротивления круглого сплошного се-
чения определяется по формуле (6.6):
3
P
d
W.
16
π
=
Из равенства
P
TP
P
WW = определяем d:
3
3
d
72 см ;
16
π
= d = 7,17 см.
Округляя по ГОСТ 2590-88, примем d = 7,2 см.
Проверим прочность по формуле (6.4):
33
363
P
d 7,2
W73,3 см 73,3 10 м ;
16 16
−
ππ
== = =⋅
t
33
max
max S
6
P
M
2,83
38,6 10 кПа R4010 кПа .
W73,310
−
τ= = = ⋅ < =⋅
⋅
Недонапряжение 3,5 % объясняется округлением требуемо-
го диаметра в большую сторону.
– подобрать диаметр бруса сплошного круглого сечения; Отсюда найдем значение опорной реакции MB:
– построить эпюру углов закручивания сечений. (−2 + M B ) ⋅ 0,5 + (−5 + M B ) ⋅ 1,5 + M B ⋅ 1 = 0.
МВ = 2,83 кН·м.
РЕШЕНИЕ
4. Построение эпюры крутящих моментов.
А. Раскрытие статической неопределимости
Зная величину опорной реакции, определяем значения кру-
и построение эпюры крутящих моментов
тящих моментов на всех грузовых участках:
1. Статическая сторона задачи.
M t1 = −2 + 2,83 = 0,83 кН ⋅ м;
∑ M X = 0; M A − M1 + M 2 − M B = 0;
M t 2 = −5 + 2,83 = −2,17 кН ⋅ м;
M A − M B = M1 + M 2 = 3 − 5 = −2 кНм.
Здесь МА и МВ – опорные реакции в заделках, действующие в M t3 = 2,83 кН ⋅ м.
плоскостях, перпендикулярных оси стержня. Их направление Эпюра M t изображена на рис. 6.8б.
выбрано произвольно.
Получили одно уравнение, содержащее два неизвестных,
Б. Подбор сечения
т.е. рассматриваемая задача один раз статически неопределима.
Используя условие прочности при кручении по формуле
2. Геометрическая сторона задачи.
(6.4) определяем требуемый полярный момент сопротивления
Для получения дополнительного уравнения рассмотрим ус-
поперечного сечения.
ловие совместности деформаций отдельных участков.
M t max 2,83 кН ⋅ м
Определим полный угол закручивания правого концевого WP TP = = = 0,0072 ⋅ 10−3 м 3 = 72 см 3 .
сечения бруса по отношению к левому сечению. Он определяет- RS 40 ⋅ 103 кПа
ся как сумма углов закручивания трех участков и равен нулю. Полярный момент сопротивления круглого сплошного се-
α B = ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 = 0. π d3
3. Физическая сторона задачи. чения определяется по формуле (6.6): WP = .
16
Используем закон Гука при кручении для определения ϕi: TP
Из равенства WP = WP определяем d:
M t l1 Mt l 2 Mt l3
ϕ1 = 1 ; ϕ2 = 2 ; ϕ3 = 3 . π d3
GI P GI P GI P 72 см3 = ; d = 7,17 см.
16
Методом сечений получим выражения для определения Округляя по ГОСТ 2590-88, примем d = 7,2 см.
крутящих моментов M ti из условия равновесия правой отсечен- Проверим прочность по формуле (6.4):
ной части: π d 3 π 7,23
M t1 = M1 − M 2 + M B = 3 − 5 + M B = −2 + M B ; WP = = = 73,3 см 3 = 73,3 ⋅ 10−6 м3 ;
16 16
M t 2 = − M 2 + M B = −5 + M B ; M t max 2,83
τmax = = = 38,6 ⋅ 103 кПа < R S = 40 ⋅ 103 кПа .
Мt3 = МВ. WP 73,3 ⋅ 10−6
Эти выражения подставим в соотношение αВ = ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 = 0: Недонапряжение 3,5 % объясняется округлением требуемо-
(−2 + M B ) l1 (−5 + M B ) l 2 M B l 3 го диаметра в большую сторону.
αB = + + = 0.
G IP G IP G IP
114 115
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- …
- следующая ›
- последняя »
