Составители:
Рубрика:
110
РЕШЕНИЕ
1. Построим эпюры крутящих моментов М
t
.
Рассматривая
правую отсеченную часть стержня для каждого грузового участ-
ка получим:
М
(1)
t
= М
1
= 2,1 кН
⋅
м;
М
(2)
t
= М
1
– М
2
= 2,1 – 1,2 = 0,9 кН⋅ м;
М
(3)
t
= М
1
– М
2
– М
3
= 2,1 – 1,2 – 2,7 = –1,8 кН
⋅
м.
Эпюра М
t
показана на рис. 6.6б.
2. Определим необходимые размеры сечения, из условия
прочности (6.17):
tt
max max
S
2
max
t
MM
R.
Whb
τ= = ≤
α
Для отношения
h
2
b
=
из табл. 6.1 находим α = 0,246.
При h = 2b и при условии
max
τ
= R
S
,
t
max
M
= 2,1 кН⋅м по-
лучим
3
2
2,1 кН м
70 10 кПа
0, 246 (2b) b
⋅
=⋅
⋅⋅
. Отсюда находим:
b = 3,935
⋅ 10
–2
м.
После округления окончательно принимаем:
b = 4 см, h = 2b = 2
⋅ 4 = 8 см.
Проверим прочность подобранного сечения:
W
t
=
2
hbα = 0,246
2
84⋅⋅ = 31,5 см
3
;
t
max
63
max
t
M
2,1 кН м
W31,510м
−
⋅
τ= =
⋅
= 66,67
⋅
10
3
кПа < R
S
= 70
⋅
10
3
кПа.
3. Построим эпюру полных углов закручивания.
Предварительно определим момент инерции при кручении
и значение жесткости поперечного сечения при кручении GI
t
:
I
t
= βhb
3
= 0,229⋅8⋅4
3
= 117,25 см
4
= 117,25
⋅
10
–8
м
4
(при h/b = 2 β = 0,229 (табл. 6.1));
G = 0,8
⋅ 10
5
МПа = 0,8 ⋅ 10
8
кПа.
GI
t
= 0,8⋅ 10
8
кН/м
2
⋅ 117,25 ⋅ 10
–8
м
4
= 93,8 кН⋅м
2
.
111
Определим полные углы закручивания сечений А, В, С, D
как сумму углов взаимного закручивания концов участков, за-
ключенных между рассматриваемым и защемленным сечениями.
α
А
= 0 (здесь стержень защемлен);
α
В
= α
А
+ ϕ
3
t(3) 3
2
t
М
1, 8 кН м 1,1 м
0,0211 рад;
GI 93,8 кН м
⋅
−⋅⋅
== =−
⋅
l
t(2) 2
С 323
t
М
0,9 1,3
0,0211
GI 93,8
0,0211 0,0125 0,0086 рад;
⋅
⋅
α
=ϕ +ϕ =ϕ + =− + =
=− + =−
l
t(1) 1
D32132
t
2
М
GI
2,1 кН м 1 м
0,0086 0,0086 0,0224 0,0138 рад.
93,8 кН м
⋅
α=ϕ+ϕ+ϕ=ϕ+ϕ+ =
⋅⋅
=− + =− + =
⋅
l
Эпюра полных углов закручивания α показана на рис. 6.6в.
6.4. Статически неопределимые задачи
при деформации кручения
Как было отмечено ранее, статически неопределимыми на-
зываются брусья и системы, внутренние усилия или реакции
опор в которых нельзя определить с помощью одних лишь урав-
нений равновесия.
Поэтому при их расчете необходимо состав-
лять дополнительные уравнения –
уравнения совместности де-
формаций или перемещений. Число дополнительных уравнений,
необходимых для расчета системы, характеризует степень ее
статической неопределимости.
Важным этапом расчета статически неопределимых систем
является составление дополнительных (к уравнениям равнове-
сия) уравнений перемещений. Способ их составления поясним
на следующем примере.
Рассмотрим стержень, защемленный обоими концами и на-
груженный моментом М
Х
, действующим в плоскости, перпенди-
кулярной продольной оси стержня (рис. 6.7).
РЕШЕНИЕ Определим полные углы закручивания сечений А, В, С, D
1. Построим эпюры крутящих моментов Мt. Рассматривая как сумму углов взаимного закручивания концов участков, за-
правую отсеченную часть стержня для каждого грузового участ- ключенных между рассматриваемым и защемленным сечениями.
ка получим: αА = 0 (здесь стержень защемлен);
М (1) = М1 = 2,1 кН ⋅ м; М t (3) ⋅ l 3 −1,8 кН ⋅ м ⋅ 1,1 м
t
αВ = αА + ϕ3 = = = −0,0211 рад;
М (2)
t = М1 – М2 = 2,1 – 1,2 = 0,9 кН ⋅ м; GI t 93,8 кН ⋅ м 2
М (3) = М1 – М2 – М3 = 2,1 – 1,2 – 2,7 = –1,8 кН ⋅ м. М t (2) ⋅ l 2 0,9 ⋅ 1,3
t
α С = ϕ3 + ϕ2 = ϕ3 + = −0,0211 + =
Эпюра Мt показана на рис. 6.6б. GI t 93,8
2. Определим необходимые размеры сечения, из условия = −0,0211 + 0,0125 = −0,0086 рад;
прочности (6.17):
М t (1) ⋅ l1
M t max M t max α D = ϕ3 + ϕ2 + ϕ1 = ϕ3 + ϕ2 + =
τ max = = ≤ RS. GI t
Wt αhb 2
2,1 кН ⋅ м ⋅ 1 м
h = −0,0086 + = −0,0086 + 0,0224 = 0,0138 рад.
Для отношения = 2 из табл. 6.1 находим α = 0,246. 93,8 кН ⋅ м 2
b
При h = 2b и при условии τ max = RS, M t max = 2,1 кН⋅м по- Эпюра полных углов закручивания α показана на рис. 6.6в.
2,1 кН ⋅ м 6.4. Статически неопределимые задачи
лучим = 70 ⋅ 103 кПа . Отсюда находим:
0, 246 ⋅ (2b) ⋅ b 2 при деформации кручения
b = 3,935 ⋅ 10–2 м.
После округления окончательно принимаем: Как было отмечено ранее, статически неопределимыми на-
b = 4 см, h = 2b = 2 ⋅ 4 = 8 см. зываются брусья и системы, внутренние усилия или реакции
Проверим прочность подобранного сечения: опор в которых нельзя определить с помощью одних лишь урав-
нений равновесия. Поэтому при их расчете необходимо состав-
Wt = αhb 2 = 0,246 ⋅8 ⋅ 42 = 31,5 см3;
лять дополнительные уравнения – уравнения совместности де-
M t max 2,1 кН ⋅ м формаций или перемещений. Число дополнительных уравнений,
τ max = = = 66,67 ⋅ 103 кПа < RS = 70 ⋅ 103 кПа.
Wt 31,5 ⋅ 10−6 м3 необходимых для расчета системы, характеризует степень ее
3. Построим эпюру полных углов закручивания. статической неопределимости.
Предварительно определим момент инерции при кручении Важным этапом расчета статически неопределимых систем
и значение жесткости поперечного сечения при кручении GIt: является составление дополнительных (к уравнениям равнове-
It = βhb3 = 0,229⋅8⋅43 = 117,25 см4 = 117,25 ⋅ 10–8 м4 сия) уравнений перемещений. Способ их составления поясним
(при h/b = 2 β = 0,229 (табл. 6.1)); на следующем примере.
G = 0,8 ⋅ 105 МПа = 0,8 ⋅ 108 кПа. Рассмотрим стержень, защемленный обоими концами и на-
GIt = 0,8 ⋅ 108 кН/м2 ⋅ 117,25 ⋅ 10–8 м4 = 93,8 кН⋅м2. груженный моментом МХ, действующим в плоскости, перпенди-
кулярной продольной оси стержня (рис. 6.7).
110 111
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- …
- следующая ›
- последняя »
