Сопротивление материалов: основы теории и примеры выполнения индивидуальных расчетных заданий. Валиев Ф.С. - 54 стр.

     Используем соотношение (6.8) для бруса кольцевого сече-                          Проверим прочность и жесткость подобранного сечения.
                          π d 3ext                                                    Предварительно определим полярный момент сопротивле-
ния:                 WP =          (1 − K 4 ).                                    ния и полярный момент инерции подобранного сечения:
                           16
                           TP                                                                      π(7, 4 ⋅ 10−2 )3 ⋅ (1 − 0,84 )
Приравниваем            Wp = WP ;                                                             WP =                                = 46,92 ⋅ 10−6 м3 ;
                                                                                                               16
                               π d 3ext
                            30 cм3 =    (1 − K 4 ) .
                                32                                                                   π(7, 4 ⋅ 10−2 ) 4 ⋅ (1 − 0,84 )
     Отсюда при заданном К = 0,8 находим dext = 6,37 см.                                      IP =                                   = 173,6 ⋅ 10−8 м 4 ;
     3. Подбор сечения по условию жесткости. Из условия же-                                                       32
                            Mt                                                                         M t max             1, 2
                                                                                              τmax   =           =                   = 25,6 ⋅ 103 кПа < R S ;
сткости (6.15) θ max =           max
                                       ≤ [θ] ; определим требуемое зна-                                  WP         46,92 ⋅ 10−6
                             G IP
чение полярного момента инерции по следующей формуле:                                                      Mt                         1, 2
                                                                                                θ max =         max
                                                                                                                      =                                   =
 M t max                          M t max                                                                   G IP          0,8 ⋅ 10 кПа ⋅ 173,6 ⋅ 10−8 м 4
                                                                                                                                  8

         = [ θ] . Откуда I P TP =         .
 G IP                             G [ θ]                                                               рад
                                                                                               = 0,00857   < [ θ ].
       В это соотношение [θ] подставляется в радианах, поэтому                                          м
                                                                                      Условия прочности и жесткости выполняются.
заданный угол выразим в радианах:
                            ⎡⎣ θ0 ⎤⎦ π 0,5 ⋅ π            рад                     6.3. Деформация кручения брусьев прямоугольного сечения
                      [ ]
                       θ  =           =        = 0,00875       ;
                               180      180                 м
                    1, 2 кН ⋅ м                                                       Испытания стержней некруглого сечения на кручение пока-
 I P TP =                                   = 0,01712 ⋅ 10−4 м 4 = 171,2 см 4 .   зывают, что поперечные сечения таких стержней после дефор-
          0,8 ⋅ 10 кПа ⋅ 0,00875 рад/м
                  8
                                                                                  мации перестают быть плоскими. Это явление, связанное с вы-
                                                     π d ext
                                                         4
                                                                                  ходом точек поперечного сечения из плоскости, называется де-
Из условия I P TP = I P получим: 171, 2 см 4 =               (1 − К 4 ).
                                                      32                          планацией сечения. Когда депланация всех поперечных сечений
    Отсюда определяем dext (по условию задачи К = 0,8):                           одинакова, она считается свободной и не приводит к появлению
            πd ext
               4
                                            171, 2 ⋅ 32                           нормальных напряжений в продольных волокнах. В противном
    171,2 =        (1 − 0,84 ); d ext = 4                  = 7,374см.             случае депланация является стесненной и сопровождается появ-
             32                            π ⋅ (1 − 0,84 )                        лением нормальных напряжений в продольных волокнах. В дан-
    После округления примем dext = 7,4, тогда                                     ной части курса мы не будем учитывать влияние стесненности
                 dint = 0,8 ⋅ dext = 0,8 ⋅ 7,4 = 5,92 см.                         депланации, т.е. будем рассматривать свободное кручение
    По результатам расчетов на прочность и жесткость видно,                       стержней.
что по условию жесткости диаметр бруса требуется больше, чем                          Распределение касательных напряжений при кручении
по условию прочности (7,4 см > 6,37 см).                                          стержней прямоугольного сечения более сложное, чем стержней
    Окончательно принимаем больший диаметр:                                       круглого сечения из-за наличия депланации. Эта задача была
                        dext = 7,4 см, dint = 5,92 см.                            впервые решена Сен-Венаном в теории упругости. На рис. 6.5

                                       106                                                                                  107