Вычисление интегралов с помощью вычетов. Василего И.П. - 4 стр.

       1 Основные факты теории вычетов

         I Обязательно по книгам (1) и (2) читатель должен ознакомиться с
основными понятиями теории функций комплексного переменного:
аналитическая функция, интеграл от функции комплексной переменной по
кривой и его свойства, ряды Тейлора и Лорана и т.д.
         Определение 1. Нулем аналитической функции f ( z ) называется точка
z 0 , для которой f ( z 0 ) = 0 .
         Если f ( z ) не равна тождественно нулю ни в какой окрестности точки
z 0 , то можно описать окружность достаточно малого радиуса с центром в точке
z 0 внутри которой не будет других нулей, кроме центра z 0 .
      Если f ( z 0 ) = f ′( z 0 ) = ... = f (k −1) ( z 0 ) = 0 , а f (k ) ( z 0 ) ≠ 0 , то точка z 0
называется нулем порядка k для функции f ( z ) . Если k = 1 , то нуль называется
простым, при k > 1 k - кратным.
      Определение 2. Точки в которых функция f ( z ) перестает быть
аналитической называются особыми точками функции f ( z ) .
      Определение 3. Точка z 0 называется изолированной особой точкой
функции f ( z ) , если функция f ( z ) аналитична в некоторой проколотой
окрестности (кольце) {z ∈ С | 0 < z − z 0 < r}, а в самой точке z 0 или не
определена, или определена, но не дифференцируема.
      Определение 4. Ряд вида
                             +∞            n      +∞                      −1
                             ∑ a n (z − z 0 ) =   ∑ a n ( z − z 0 )n +    ∑ a n ( z − z 0 )n
                          −∞                      n =0                   n = −∞
      где { }       ∞
                a n n = −∞ -
                       последовательность комплексных чисел, называется
рядом Лорана с центром в точке z 0 .
      +∞
Ряд   ∑ a n ( z − z 0 )n ,    сходящемся в круге z − z 0 < r , называется правильной
      n =0
частью ряда Лорана.
        1
Ряд    ∑ a n ( z − z 0 )n ,    сходящийся в области z − z 0 > 0 , называется главной
      n = −∞
частью ряда Лорана.
       По определению ряд Лорана сходится, если сходятся одновременно его
правильная и главная части. Следовательно, ряд Лорана сходится в кольце:
0 < z − z0 < r .
       Изолированные особые точки бывают трех типов: устранимая особая
точка, полюс, существенно особая точка.
       Определение 5. Изолированная особая точка z 0 функции f ( z )
называется устранимой, если существует конечный предел lim f ( z ) ≠ f ( z 0 ) .
                                                                                      z → z0


4