ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
4
1 Основные факты теории вычетов
I Обязательно по книгам (1) и (2) читатель должен ознакомиться с
основными понятиями теории функций комплексного переменного:
аналитическая функция, интеграл от функции комплексной переменной по
кривой и его свойства, ряды Тейлора и Лорана и т.д.
Определение 1. Нулем аналитической функции
(
)
zf называется точка
0
z , для которой
()
0
0
=zf .
Если
()
zf не равна тождественно нулю ни в какой окрестности точки
0
z , то можно описать окружность достаточно малого радиуса с центром в точке
0
z внутри которой не будет других нулей, кроме центра
0
z .
Если
() ()
(
)
(
)
0...
0
1
00
===
′
=
−
zfzfzf
k
, а
(
)
(
)
0
0
≠zf
k
, то точка
0
z
называется нулем порядка
k
для функции
(
)
zf . Если 1
=
k
, то нуль называется
простым, при
1>
k
k
- кратным.
Определение 2. Точки в которых функция
(
)
zf перестает быть
аналитической называются особыми точками функции
(
)
zf .
Определение 3. Точка
0
z называется изолированной особой точкой
функции
()
zf , если функция
(
)
zf аналитична в некоторой проколотой
окрестности (кольце)
{
}
rzzСz
<
−
<
∈
0
0|, а в самой точке
0
z или не
определена, или определена, но не дифференцируема.
Определение 4. Ряд вида
() () ()
n
n
n
n
n
n
n
n
zzazzazza
0
1
0
0
0
−+−=−
∑∑∑
−
−∞=
∞+
=
∞+
∞−
где
{}
∞
−∞=n
n
a - последовательность комплексных чисел, называется
рядом Лорана с центром в точке
0
z .
Ряд
()
n
n
n
zza
0
0
−
∑
+∞
=
, сходящемся в круге rzz
<
−
0
, называется правильной
частью ряда Лорана.
Ряд
()
n
n
n
zza
0
1
−
∑
−∞=
, сходящийся в области 0
0
>
−
zz , называется главной
частью ряда Лорана.
По определению ряд Лорана сходится, если сходятся одновременно его
правильная и главная части. Следовательно, ряд Лорана сходится в кольце:
rzz <−<
0
0.
Изолированные особые точки бывают трех типов: устранимая особая
точка, полюс, существенно особая точка.
Определение 5. Изолированная особая точка
0
z функции
(
)
zf
называется устранимой, если существует конечный предел
()
(
)
0
0
lim zfzf
zz
≠
→
.
1 Основные факты теории вычетов I Обязательно по книгам (1) и (2) читатель должен ознакомиться с основными понятиями теории функций комплексного переменного: аналитическая функция, интеграл от функции комплексной переменной по кривой и его свойства, ряды Тейлора и Лорана и т.д. Определение 1. Нулем аналитической функции f ( z ) называется точка z 0 , для которой f ( z 0 ) = 0 . Если f ( z ) не равна тождественно нулю ни в какой окрестности точки z 0 , то можно описать окружность достаточно малого радиуса с центром в точке z 0 внутри которой не будет других нулей, кроме центра z 0 . Если f ( z 0 ) = f ′( z 0 ) = ... = f (k −1) ( z 0 ) = 0 , а f (k ) ( z 0 ) ≠ 0 , то точка z 0 называется нулем порядка k для функции f ( z ) . Если k = 1 , то нуль называется простым, при k > 1 k - кратным. Определение 2. Точки в которых функция f ( z ) перестает быть аналитической называются особыми точками функции f ( z ) . Определение 3. Точка z 0 называется изолированной особой точкой функции f ( z ) , если функция f ( z ) аналитична в некоторой проколотой окрестности (кольце) {z ∈ С | 0 < z − z 0 < r}, а в самой точке z 0 или не определена, или определена, но не дифференцируема. Определение 4. Ряд вида +∞ n +∞ −1 ∑ a n (z − z 0 ) = ∑ a n ( z − z 0 )n + ∑ a n ( z − z 0 )n −∞ n =0 n = −∞ где { } ∞ a n n = −∞ - последовательность комплексных чисел, называется рядом Лорана с центром в точке z 0 . +∞ Ряд ∑ a n ( z − z 0 )n , сходящемся в круге z − z 0 < r , называется правильной n =0 частью ряда Лорана. 1 Ряд ∑ a n ( z − z 0 )n , сходящийся в области z − z 0 > 0 , называется главной n = −∞ частью ряда Лорана. По определению ряд Лорана сходится, если сходятся одновременно его правильная и главная части. Следовательно, ряд Лорана сходится в кольце: 0 < z − z0 < r . Изолированные особые точки бывают трех типов: устранимая особая точка, полюс, существенно особая точка. Определение 5. Изолированная особая точка z 0 функции f ( z ) называется устранимой, если существует конечный предел lim f ( z ) ≠ f ( z 0 ) . z → z0 4
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- …
- следующая ›
- последняя »