Вычисление интегралов с помощью вычетов. Василего И.П. - 4 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

4
1 Основные факты теории вычетов
I Обязательно по книгам (1) и (2) читатель должен ознакомиться с
основными понятиями теории функций комплексного переменного:
аналитическая функция, интеграл от функции комплексной переменной по
кривой и его свойства, ряды Тейлора и Лорана и т.д.
Определение 1. Нулем аналитической функции
(
)
zf называется точка
0
z , для которой
()
0
0
=zf .
Если
()
zf не равна тождественно нулю ни в какой окрестности точки
0
z , то можно описать окружность достаточно малого радиуса с центром в точке
0
z внутри которой не будет других нулей, кроме центра
0
z .
Если
() ()
(
)
(
)
0...
0
1
00
===
=
zfzfzf
k
, а
(
)
(
)
0
0
zf
k
, то точка
0
z
называется нулем порядка
k
для функции
(
)
zf . Если 1
=
k
, то нуль называется
простым, при
1>
k
k
- кратным.
Определение 2. Точки в которых функция
(
)
zf перестает быть
аналитической называются особыми точками функции
(
)
zf .
Определение 3. Точка
0
z называется изолированной особой точкой
функции
()
zf , если функция
(
)
zf аналитична в некоторой проколотой
окрестности (кольце)
{
}
rzzСz
<
<
0
0|, а в самой точке
0
z или не
определена, или определена, но не дифференцируема.
Определение 4. Ряд вида
() () ()
n
n
n
n
n
n
n
n
zzazzazza
0
1
0
0
0
+=
−∞=
+
=
+
где
{}
−∞=n
n
a - последовательность комплексных чисел, называется
рядом Лорана с центром в точке
0
z .
Ряд
()
n
n
n
zza
0
0
+∞
=
, сходящемся в круге rzz
<
0
, называется правильной
частью ряда Лорана.
Ряд
()
n
n
n
zza
0
1
−∞=
, сходящийся в области 0
0
>
zz , называется главной
частью ряда Лорана.
По определению ряд Лорана сходится, если сходятся одновременно его
правильная и главная части. Следовательно, ряд Лорана сходится в кольце:
rzz <<
0
0.
Изолированные особые точки бывают трех типов: устранимая особая
точка, полюс, существенно особая точка.
Определение 5. Изолированная особая точка
0
z функции
(
)
zf
называется устранимой, если существует конечный предел
()
(
)
0
0
lim zfzf
zz
.
       1 Основные факты теории вычетов

         I Обязательно по книгам (1) и (2) читатель должен ознакомиться с
основными понятиями теории функций комплексного переменного:
аналитическая функция, интеграл от функции комплексной переменной по
кривой и его свойства, ряды Тейлора и Лорана и т.д.
         Определение 1. Нулем аналитической функции f ( z ) называется точка
z 0 , для которой f ( z 0 ) = 0 .
         Если f ( z ) не равна тождественно нулю ни в какой окрестности точки
z 0 , то можно описать окружность достаточно малого радиуса с центром в точке
z 0 внутри которой не будет других нулей, кроме центра z 0 .
      Если f ( z 0 ) = f ′( z 0 ) = ... = f (k −1) ( z 0 ) = 0 , а f (k ) ( z 0 ) ≠ 0 , то точка z 0
называется нулем порядка k для функции f ( z ) . Если k = 1 , то нуль называется
простым, при k > 1 k - кратным.
      Определение 2. Точки в которых функция f ( z ) перестает быть
аналитической называются особыми точками функции f ( z ) .
      Определение 3. Точка z 0 называется изолированной особой точкой
функции f ( z ) , если функция f ( z ) аналитична в некоторой проколотой
окрестности (кольце) {z ∈ С | 0 < z − z 0 < r}, а в самой точке z 0 или не
определена, или определена, но не дифференцируема.
      Определение 4. Ряд вида
                             +∞            n      +∞                      −1
                             ∑ a n (z − z 0 ) =   ∑ a n ( z − z 0 )n +    ∑ a n ( z − z 0 )n
                          −∞                      n =0                   n = −∞
      где { }       ∞
                a n n = −∞ -
                       последовательность комплексных чисел, называется
рядом Лорана с центром в точке z 0 .
      +∞
Ряд   ∑ a n ( z − z 0 )n ,    сходящемся в круге z − z 0 < r , называется правильной
      n =0
частью ряда Лорана.
        1
Ряд    ∑ a n ( z − z 0 )n ,    сходящийся в области z − z 0 > 0 , называется главной
      n = −∞
частью ряда Лорана.
       По определению ряд Лорана сходится, если сходятся одновременно его
правильная и главная части. Следовательно, ряд Лорана сходится в кольце:
0 < z − z0 < r .
       Изолированные особые точки бывают трех типов: устранимая особая
точка, полюс, существенно особая точка.
       Определение 5. Изолированная особая точка z 0 функции f ( z )
называется устранимой, если существует конечный предел lim f ( z ) ≠ f ( z 0 ) .
                                                                                      z → z0


4