Вычисление интегралов с помощью вычетов. Василего И.П. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

6
где интегрирование ведется по γ -замкнутому кусочно-гладкому контуру
Жордана, содержащему внутри себя точку
0
z и не содержащему других особых
точек функции
()
zf . При этом интегрирование ведётся в положительном
направлении относительно области, содержащей точку
0
z .
Если
∞≠
0
z , то
(
)
1
0
Re
−
=
=
azfs
zz
- коэффициент при
()
1
0
−
− zz в ряде
Лорана. Если
∞
=
0
z , то
(
)
1
0
Re azfs
zz
=
∞==
, где
1
a - коэффициент при
1
−
z в
лорановском разложении функции
(
)
zf в окрестности точки ∞=
0
z .
Вычет
()
zf в точке
∞
=
0
z находят, в основном, непосредственно по
определению, причем за контур γ принимают окружность
Rz = достаточно
большого радиуса.
Правила вычисления вычетов в точке
∞
≠
0
z .
1) Если точка
0
z является устранимой особой точкой для функции
()
zf , то
()
0Re
0
=
=
zfs
zz
.
2) Пусть точка
0
zz = - полюс первого порядка (простой полюс) для
()
zf . Тогда
() ( )
(
)()
zfzzzfs
zz
zz
0
0
0
limRe −=
→
=
.
В частности, если
()
()
()
z
z
zf
ψ
ϕ
=
, где функции
(
)
z
ϕ
и
(
)
z
ψ
аналитические в
окрестности точки
0
z ,
()
(
)
(
)
0,0,0
000
≠
ψ
=
ψ
≠ϕ zzz , то
()
(
)
()
0
0
0
Re
z
z
zfs
zz
ψ
′
ϕ
=
=
.
3) Если точка
0
z - полюс порядка 1>m функции
(
)
zf , то
()
()
()()
(
)
(
)
1
0
0
0
lim
!1
1
Re
−
→
=
⋅−
−
=
m
m
zz
zz
zfzz
m
zfs
Для вычисления интегралов будем использовать основную теорему 1
теории вычетов:
Если функция
()
zf аналитична в замкнутой области G , ограниченной
замкнутой спрямляемой жордановой кривой С, за исключением конечного
числа изолированных особых точек ,,...,,
21 n
aaa находящихся внутри С, то
справедлива формула
() ()
zfsidzzf
c
n
k
az
k
∫
∑
=
=
π=
1
Re2
где интегрирование ведется по γ -замкнутому кусочно-гладкому контуру
Жордана, содержащему внутри себя точку z 0 и не содержащему других особых
точек функции f ( z ) . При этом интегрирование ведётся в положительном
направлении относительно области, содержащей точку z 0 .
       Если z 0 ≠ ∞ , то Re s f ( z ) = a −1 - коэффициент при                            (z − z 0 )−1   в ряде
                                z = z0

Лорана. Если z 0 = ∞ , то             Re s f ( z ) = a1 , где a1 - коэффициент при z −1 в
                                     z = z0 = ∞
лорановском разложении функции f ( z ) в окрестности точки z 0 = ∞ .
            Вычет f ( z ) в точке z 0 = ∞ находят, в основном, непосредственно по
определению, причем за контур γ принимают окружность z = R достаточно
большого радиуса.
            Правила вычисления вычетов в точке z 0 ≠ ∞ .
            1) Если точка z 0 является устранимой особой точкой для функции
 f ( z ) , то Re s f ( z ) = 0 .
         z = z0
           2) Пусть точка z = z 0 - полюс первого порядка (простой полюс) для
f ( z ) . Тогда Re s f ( z ) = lim (( z − z 0 ) f ( z )) .
                  z = z0    z → z0
                               ϕ( z )
В частности, если f ( z ) =           , где функции ϕ( z ) и ψ ( z ) аналитические в
                              ψ(z )
окрестности точки z 0 , ϕ( z 0 ) ≠ 0, ψ ( z 0 ) = 0, ψ ′( z 0 ) ≠ 0 , то

                                                             ϕ( z 0 )
                                          Re s f ( z ) =                .
                                           z = z0            ψ ′( z 0 )

       3) Если точка z 0 - полюс порядка m > 1 функции f ( z ) , то


                           Re s f ( z ) =
                           z = z0
                                                    1
                                                                 (
                                                            lim ( z − z 0 )m ⋅ f ( z )
                                                  (m − 1)! z → z0
                                                                                      )(m −1)



      Для вычисления интегралов будем использовать основную теорему 1
теории вычетов:
      Если функция f ( z ) аналитична в замкнутой области G , ограниченной
замкнутой спрямляемой жордановой кривой С, за исключением конечного
числа изолированных особых точек a1 , a 2 ,..., a n , находящихся внутри С, то
справедлива формула

                                                                     n
                                           ∫   f ( z )dz = 2πi ∑ Re s f ( z )
                                           c                     k =1 z = ak



6

Страницы