Вычисление интегралов с помощью вычетов. Василего И.П. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

7
2 Вычисление интегралов от тригонометрических функций
Интегралы вида
()
ϕϕϕ=
∫
π
dRI
2
0
sin,cos , где
(
)
vuR , - рациональная
функция, а функция
()
(
)
ϕ
ϕ
=ϕ sin,cosRg непрерывна на отрезке
[
]
π
2,0,
сводится к интегралом по единичной окружности от функций комплексного
переменного.
Пусть
ϕ
=
i
ez . Тогда с помощью формул Эйлера: ϕ+ϕ=
ϕ
sincos ie
i
получим
2
cos,
2
sin
ϕ
−
ϕ
ϕ
−
ϕ
+
=ϕ
−
=ϕ
iiii
ee
i
ee
или
2
1
cos,
2
1
sin
z
z
i
z
z +
=ϕ
−
=ϕ (1)
Отсюда ϕ⋅=
ϕ
idedz
i
или
z
dz
iz
dz
id ⋅=−=ϕ
1
.
При изменении ϕ от 0 до
π
2 переменная z пробегает окружность 1
=
z ,
поэтому
()
∫
= dzzR
i
I
~
1
(где
()
−
+=
z
z
iz
zR
z
zR
1
2
1
,
1
2
11
~
. Так как
рациональная функция
()
∞≠zR
~
на окружности 1
=
z , то существует такое
1>
r
, что в круге rz < функция
(
)
zR
~
определена и аналитична всюду за
исключением быть может конечного числа изолированных особых точек,
находящихся в круге
1<z . Взяв в качестве контура С окружность 1
=
z и
применяя теорему 1, получим
()
∑
=
=
⋅π=
n
az
zRsiI
k
1
~
Re2 , (2)
где
k
aaa ,...,,
21
- полюсы функции
(
)
zR
~
, лежащие в круге 1<z .
Таким образом, алгоритм вычисления интеграла
()
ϕϕϕ=
∫
π
dRI
2
0
sin,cos
таков:
1) надо доказать, что функция
(
)
ϕ
ϕ
sin,cosR рациональна относительно
ϕcos или ϕsin и непрерывна на
[
]
π
2;0;
2) делаем замену
ϕ
=
i
ez при которой отрезок
[
]
π2;0 переводится в
множество
{}
iz
dz
d
t
t
z
z
i
zCzM =ϕ
+=ϕ
−=ϕ=∈= ,
1
2
1
cos,
1
2
1
sin;1| и 
      2 Вычисление интегралов от тригонометрических функций
                                  2π
         Интегралы вида I =        ∫ R(cos ϕ, sin ϕ)dϕ ,   где R(u , v ) - рациональная
                                   0
функция, а функция g (ϕ ) = R(cos ϕ, sin ϕ ) непрерывна на отрезке [0,2π] ,
сводится к интегралом по единичной окружности от функций комплексного
переменного.
      Пусть z = e iϕ . Тогда с помощью формул Эйлера: e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ
получим
                                                                1              1
                iϕ    − iϕ            iϕ   − iϕ             z−              z+
               e −e                  e +e                       z , cos ϕ =    z (1)
       sin ϕ =             , cos ϕ =            или sin ϕ =
                   2i                    2                   2i              2

                          dz 1 dz
Отсюда dz = e iϕ ⋅ idϕ или dϕ = −i
                            = ⋅ .
                           z i z
При изменении ϕ от 0 до 2π переменная z пробегает окружность z = 1 ,
                 1 ~             ~        1 1    1 1       1 
                    R ( z )dz    R ( z ) = R  z + ,
                 i∫
поэтому     I=                  (где                       z −   . Так как
                                          z 2    z  2i     z 
                        ~
рациональная функция R ( z ) ≠ ∞ на окружности z = 1 , то существует такое
                                      ~
r > 1, что в круге z < r функция R ( z ) определена и аналитична всюду за
исключением быть может конечного числа изолированных особых точек,
находящихся в круге z < 1 . Взяв в качестве контура С окружность z = 1 и
применяя теорему 1, получим

                                             n
                                                    ~
                                   I = 2πi ⋅ ∑ Re s R ( z ),                          (2)
                                            k =1 z = ak

                                        ~
где a1 , a 2 ,..., a k - полюсы функции R ( z ) , лежащие в круге z < 1 .
                                                                      2π
         Таким образом, алгоритм вычисления интеграла I =              ∫ R(cos ϕ, sin ϕ)dϕ
                                                                       0
таков:
       1) надо доказать, что функция R(cos ϕ, sin ϕ ) рациональна относительно
cos ϕ или sin ϕ и непрерывна на [0;2π] ;
      2) делаем замену z = e iϕ при которой отрезок [0;2π] переводится в
                                      1    1         1  1         dz
множество M = {z ∈ C | z = 1}; sin ϕ =  z − , cos ϕ =  t + , dϕ =    и
                                      2i   z         2 t          iz



                                                                                         7

Страницы