Вычисление интегралов с помощью вычетов. Василего И.П. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

5
Тогда
0
z является устранимой особой точкой функции
()
zf тогда и только
тогда, когда главная часть её ряда Лорана с центром в точке
0
z отсутствует.
Определение 6. Изолированная особая точка
0
z функции
(
)
zf
называется полюсом, если
(
)
∞
=
→
zf
zz
0
lim .
Тогда
0
z является полюсом функции
(
)
zf , тогда и только тогда, когда
главная часть ряда Лорана с центром в точке
0
z состоит из m (конечного числа)
членов:
()
()
()
()
1,0,..
0
0
0
1
1
0
1
0
≥≠−+
−
++
−
+
−
=
−
∞
=
−
−
+−−
∑
mazza
zz
a
zz
a
zz
a
zf
m
n
n
n
m
m
m
m
.
Число m называют порядком полюса. Если 1
=
m , то полюс называется
простым.
Если для функции
()
zf точка
0
zz
=
есть полюс порядка m , то для
функции
()
zf
1
точка
0
zz = есть нуль порядка m .
Определение 7. Изолированная особая точка
0
z функции
(
)
zf
называется существенно особой точкой, если
(
)
zf
zz
0
lim
→
не существует. Точка
0
z является существенно особой точкой функции
(
)
zf тогда и только тогда,
когда главная часть ряда Лорана с центром в точке
0
z содержит бесконечное
число членов.
Например, точка 0=z - существенно особая точка функции
z
e
1
.
Действительно,
.....
!2
11
1
2
1
+++=
z
z
e
z
.
Заметим, что изолированная особая точка функции
()
zf является
полюсом порядка 1≥
k
тогда и только тогда, когда в некоторой проколотой
окрестности точки
0
z : rzz
<
−<
0
0,
()
(
)
()
k
zz
z
zf
0
−
ϕ
= причем
()
zϕ аналитична
в круге
rzz <−
0
и
()
0
0
≠
ϕ
z .
II Вычет функции и правила вычисления его
Определение 8. Вычетом однозначной аналитической функции
(
)
zf в
изолированной особой точке
0
z (в том числе
∞
=
0
z ) называется значение
интеграла
() ()
zfsdzzf
i
zz
0
Re
2
1
=
γ
=
π
∫
Тогда z 0 является устранимой особой точкой функции f ( z ) тогда и только
тогда, когда главная часть её ряда Лорана с центром в точке z 0 отсутствует.
       Определение 6. Изолированная особая точка z 0 функции f ( z )
называется полюсом, если lim f ( z ) = ∞ .
                                       z → z0
       Тогда z 0 является полюсом функции f ( z ) , тогда и только тогда, когда
главная часть ряда Лорана с центром в точке z 0 состоит из m (конечного числа)
членов:

                      a −m               a − m +1             a −1    ∞
        f (z ) =                  +                   + .. +        + ∑ a n ( z − z 0 )n , a − m ≠ 0, m ≥ 1.
                   ( z − z 0 )m       (z − z 0 )m−1          z − z 0 n =0

Число m называют порядком полюса. Если m = 1, то полюс называется
простым.
      Если для функции f ( z ) точка z = z 0 есть полюс порядка m , то для
           1
функции         точка z = z 0 есть нуль порядка m .
         f (z )
      Определение 7. Изолированная особая точка z 0 функции f ( z )
называется существенно особой точкой, если lim f ( z ) не существует. Точка
                                                                     z → z0
z 0 является существенно особой точкой функции f ( z ) тогда и только тогда,
когда главная часть ряда Лорана с центром в точке z 0 содержит бесконечное
число членов.
                                                                                                         1
       Например, точка z = 0 - существенно особая точка функции                                         ez.
                       1
                            1      1
Действительно,        ez   =1+ +     + ..... .
                            z 2! z 2
       Заметим, что изолированная особая точка функции f ( z ) является
полюсом порядка k ≥ 1 тогда и только тогда, когда в некоторой проколотой
                                                        ϕ( z )
окрестности точки z 0 : 0 < z − z 0 < r , f ( z ) =              причем ϕ( z ) аналитична
                                                    ( z − z 0 )k
в круге z − z 0 < r и ϕ( z 0 ) ≠ 0 .
       II Вычет функции и правила вычисления его
       Определение 8. Вычетом однозначной аналитической функции f ( z ) в
изолированной особой точке z 0 (в том числе z 0 = ∞ ) называется значение
интеграла

                                                 1
                                                       f ( z )dz = Re s f ( z )
                                                2πi ∫γ             z = z0



                                                                                                          5

Страницы