Вычисление интегралов с помощью вычетов. Василего И.П. - 9 стр.

          Теперь
              1             dz            4            dz          4                                                   zdz
          I= ∫ −                        =    ∫                   =                               ∫
              i z =1       1
                      z 5 + z + 
                                  1
                                      2   i z =1           1
                                                z 2 5 + z + 
                                                               2   i                             z =1    (z   2
                                                                                                                  + 2 5z + 1    )  2

                           2    2z                       z
            4                  zdz
          = ∫                                    .
                     ( (              )) ( (
            i z =1 z − − 5 + 2 2 z − − 5 − 2 2             ))
                                                                z
          Подынтегральная                функция           g ( z) =
                                                                                  (
                                              z − − 5 + 2 2  z − − 5 − 2 2 
                                                                                   
                                                                                             )                    (            )
имеет особые точки z1 = − 5 − 2, z 2 = − 5 + 2 , которые являются полюсами
второго порядка. Функция g(z) (подынтегральная) аналитична на окружности
 z = 1 и в круге z < 1 за исключением точки z 2 = − 5 + 2 . Следовательно, по
теореме 1 имеем:
        4                   zdz                4
           ∫                               = ⋅ 2ni ⋅ Re s g ( z ) = 8π Re s g ( z ) .
                  ( (      2
                                     )) ( (
        i z =1 z − − 5 + 2 ⋅ z − − 5 − 2 2     i      z = z2
                                                                  ))   z = z2

           Пользуясь формулой правила 3 вычисления вычета имеем:
                                                             ′                         ′
                  1              z ⋅ ( z − z 2 )2                         z               1( z − z  ) 2
                                                                                                            − 2 z ( z − z1 )
Re s g ( z )=            lim                                = lim                  = lim          1
                                                                                                                             =
z = z2         (2 − 1)! z → z2  ( z − z1 )2 ( z − z 2 )2  z → z2  ( z − z1 )2  z → z2          (z − z1 ) 4


          z − z1 − 2 z                − z − z1       − z 2 − z1             5−2+ 5+2                 2 5          5
= lim                    =  lim                   =               =                                =        =        .
   z → z 2 ( z − z )3
                  1
                           z → z2 ( z − z )3
                                            1                             (
                                                    (z 2 − z1 ) − 5 + 2 + 5 + 2
                                                                3                              3
                                                                                                     )4 3      32


                                  5 π 5
          Таким образом I = 8π        =      .
                                 32      4
                          π
                              cos 4 ϕ
      2 Вычислить I = ∫             2
                                        dϕ .
                          0 1 + sin   ϕ
      Решение.          Используя            формулы       понижения       степени:
                                                                1 (1 + cos 2ϕ )2
                                                                  π
        1 + cos 2ϕ             1 − cos 2ϕ
   2
cos ϕ =                 2
                   , sin ϕ =                   получим, что I = ∫                dϕ .
             2                      2                           2 0 3 − cos 2ϕ
                                                          1
                                                              2π
                                                                   (1 + cos t )2 dt .                                 (1 + cos t )2
Сделаем замену t = 2ϕ , тогда                          I=
                                                          4   ∫        3 − cos t
                                                                                          Функция
                                                                                                                       3 − cos t
                                                              0
является рациональной функцией относительно cost и непрерывной на [0;2π] .
                                              1                                       − ( z + 1)4
                                                                              ∫
                                                  it
          Теперь после замены z = e имеем I =
                                                                                      (                   )
                                                                                      2 2
                                                                                                              dz .
                                              i                               z =1 8 z z − 6 z + 1




                                                                                                                                       9