Вычисление интегралов с помощью вычетов. Василего И.П. - 10 стр.

                            ~             − ( z + 1)4
                            R ( z) =
                                           (             )
         Функция                                                      имеет        особые         точки
                                       8z 2 z 2 − 6 z + 1
z1 = 0, z 2 = 3 − 2 2 , z 3 = 3 + 2 2 , точки z1 = 0, z 2 = 3 − 2 2 лежат внутри
окружности z = 1 . Причем z1 = 0 - полюс второго порядка, вычет его найдем
по правилу 3
                                   ′
                  − ( z + 1)4                     3 2                      4
      ~
Re s R( z) = lim 2               = − lim 4( z + 1) ( z − 6z + 1) − ( z + 1) (2z − 6) = − 10 = − 5
 z =0
                     (          )
             z →0 8 z − 6 z + 1 
                                      z →0              8( z 2 − 6z + 1) 2                 8     4
                                                             ~
Точка z 2 = 3 − 2 2 - простой полюс. Вычет Re s R ( z ) найдем по правилу 2
                                                             z= z 2

     ~                      − ( z + 1)4                 (4− 2 2 )4     8 2 (3 − 2 2 )2 8 2
Re s R ( z )= lim                              =−                    =                =    = 2
z = z2      z →3− 2         (
                      2 8 ⋅ z 2 z − (3 + 2 2 ) )  8(3 −2 2 )2 (−4 2 ) 8(3 − 2 2 )2      8

                                       5        
        По формуле (2) имеем I = 2π − + 2  .
                                       4        
                           π
                                  cos nϕ
        3 Вычислить I 1 = ∫                   2
                                                dϕ при условии, что − 1 < a < 1 и
                          − π1 − 2a cos ϕ + a
n ∈ R, n > 0 .
                                                                         π
                                                                                sin nϕ
         Решение.         Рассмотрим           интеграл           I2 =   ∫ 1 − 2a cos ϕ + a 2 dϕ. I 2 = 0
                                                                         −π
поскольку подынтегральная функция нечетна, а пределы интегрирования
                                       π                           π
                                         cos nϕ + i sin nϕ                   e inϕ
симметричны. Тогда I 1 = I 1 + iI 2 = ∫                    2
                                                             dϕ = ∫                     2
                                                                                          dϕ.
                                      −π 1 − 2 a cos ϕ + a        −π 1 − 2 a cos  ϕ + a
                                             1      1         dz
После    замены    z = e iϕ ,      cos ϕ =  z + , dϕ =                 будем        иметь
                                             2      z         iz
     1            − z n dz                1            − z n dz
I1 =
     i ∫  2  1  = i ∫                                        1 
                                                                      .
      z =1  z − a +                        z =1 a ( z − a ) z − 
                         z + 1 ⋅ a
                    a                                        a
                                            ~
       Подынтегральная функция R ( z ) аналитична на множестве z ≤ 1 кроме
                                                                                          ~
нуля знаменателя z1 = а, который является простым полюсом функции R ( z ) .
                     1
Особая точка z 2 =         не принадлежит множеству z ≤ 1 . По формуле (2) и
                     a
                                           ~                    − zn           − an     2πa n
правилу 2 имеем, что I 1 = 2π ⋅ Re s R ( z ) = 2π lim                   = 2π          =       .
                                     z =a               z →a        1           1  1− a2
                                                              a z −        a a − 
                                                                    a           a


10