Вычисление интегралов с помощью вычетов. Василего И.П. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

11
4 Вычислить
()
ϕ⋅ϕ+α−=
∫
π
π−
ϕ
deI
in
n
n
n
sinsin)1(.
Решение. Сделаем замену
ϕ
=
i
ez . Тогда
iz
dz
d
z
z
i
=ϕ
−=ϕ ,
1
2
1
sin и
()
()
()
()
()
()
.1sin2
2
1
1
2
1
sin
1
1
2
1
sin1
2
1
2
11
z
dz
izz
ii
z
dz
z
i
z
iiz
dz
z
z
z
i
I
n
z
n
n
n
z
n
n
n
z
n
n
−α+
−
=
=
−+α
−
=⋅
−+α−=
∫
∫∫
=
==
Подынтегральная функция аналитична на множестве
1≤z кроме нуля
знаменателя z=0, который является простым полюсом подынтегральной
функции. По формуле (2) и правилу 2 получаем, что
()
()
()
.
2
)1(
)1(2222
)1()1(2
1sin2lim
)2(
)1(2
1sin2
Re2
)2(
1
11211
2
0
2
0
−−−−
→
=
−π
=
−
π
=
⋅
π
=
π
=
⋅
−−π
=
=−α+
−π
=
−α+
π
⋅
−
=
n
nn
nn
n
nn
n
nnnn
nn
n
z
n
n
n
z
n
n
n
i
i
i
i
ii
izz
i
z
izz
si
ii
I
Примеры для самостоятельного решения. Вычислить интегралы:
1)
;
cos35
2
0
∫
π
ϕ+
ϕd
2)
;
sin154
2
0
∫
π
+ t
dt
3)
;
cos45
sin
2
ϕ
ϕ−
ϕ
∫
π
π−
d 4) ;1,
cos
2
0
∫
π
>
ϕ+
ϕ
a
a
d
5)
;10,
sin1
cos
0
2
2
∫
π
<<ϕ
ϕ−
ϕ
ad
a
6) ;11,
sin21
sin
...3,2,1,0
2
∫
π
π−
=
<<−
+ϕ−
ϕϕ
n
a
aa
dn
7)
()
;,...2,1,0,
cos45
coscos21
∫
π
π−
=ϕ
ϕ+
ϕϕ+
nd
n
n
8) ;1,
cos21
sin
2
2
∫
π
π−
>
+ϕ−
ϕ
a
aa
9)
;1,
cos21
2cos
2
2
∫
π
π−
<
+ϕ−
ϕϕ
a
aa
d
10)
()
∫
π
>>
ϕ+
ϕ
0
2
.0,
cos
ba
ba
d
                                                     π

                                                     ∫ (sin α + sin ϕ)             ⋅ e inϕ dϕ .
                                                n                              n
      4 Вычислить I n = (−1)
                                                    −π
                                                                                                            1      1       dz
      Решение. Сделаем замену z = e iϕ . Тогда sin ϕ =                                                          z − , dϕ =    и
                                                                                                            2i     z       iz
                            1  1 
      I n = (− 1) ∫  sin α +  z −   ⋅ z
                     n                      n dz   (− 1)n
                                                                n
                                                                                                                  1 2
                                                                                                                            (
                                                                                                                             dz
                                                                                                                                )
                                                                                                                                    n


                            2i   z        iz
                                                 =
                                                      i                                            ∫   z sin α +
                                                                                                                   2i
                                                                                                                      z − 1 
                                                                                                                              z
                                                                                                                                 =
                  z =1                                                                            z =1

        (− 1)n
                    (                   )n dz
                ∫
                       2
      =              z   + 2iz sin α − 1      .
        i(2i ) z =1
              n                             z

      Подынтегральная функция аналитична на множестве z ≤ 1 кроме нуля
знаменателя z=0, который является простым полюсом подынтегральной
функции. По формуле (2) и правилу 2 получаем, что

      In =
                 (− 1)n       2πi Re s
                                       (z       2
                                                     + 2iz sin α − 1       )   n
                                                                                   =
                                                                                       2π(−1) n
                                                                                                                 (
                                                                                                          lim z 2 + 2iz sin α − 1 =     )
                                                                                                                                        n

                i ⋅ (2i ) n         z =0                   z                                (2i ) n       z →0

           2π(−1) n (−1) n                  π                 πi n                     πi n               πi n (−1) n
      =                             =                 =                    =                          =                 .
                 2n ⋅ i n               2 n −1 i n        2 n −1 ⋅ i 2 n       2 n −1 (−1) n                 2 n −1

      Примеры для самостоятельного решения. Вычислить интегралы:
         2π                                2π
                dϕ                                dt
      1) ∫              ;               2) ∫               ;
          0
            5 + 3 cos ϕ                     0 4 + 15 sin t
            π                                                                          2π
              sin 2 ϕ                                                                           dϕ
      3) ∫              dϕ;                                                    4)      ∫ a + cos ϕ , a > 1;
         −π
            5 − 4 cos ϕ                                                                0
           π                                                                           π
                 cos2 ϕ                                                                          sin nϕdϕ
      5)   ∫ 1 − a sin2 ϕ       dϕ, 0 < a < 1;                                 6)      ∫ 1 − 2a sin ϕ + a 2 , −n1=<0,1a,2,<3...1;
           0                                                                           −π
            π
                (1 + 2 cos ϕ)   n
                               cos nϕ
                                                                                        π
                                                                                                      sin 2 ϕ
      7)    ∫         5 + 4 cos ϕ
                                      dϕ, n = 0,1,2,...; 8)                             ∫ 1 − 2a cos ϕ + a 2 , a > 1;
           −π                                                                          −π
           π             2                                                              π
                   cos 2ϕdϕ                                                                           dϕ
      9)    ∫ 1 − 2a cos ϕ + a 2 , a < 1;                                      10)      ∫ (a + b cos ϕ)2 , a > b > 0.
           −π                                                                           0




                                                                                                                                            11

Страницы