Вычисление интегралов с помощью вычетов. Василего И.П. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

12
3 Вычисление несобственных интегралов
1 При вычислении некоторых типов несобственных интегралов будем
использовать следующие две леммы Жордана.
Лемма 1. Пусть функция f(z) является непрерывной в области
{
}
0Im,
0
≥≥∈= zRzCzD при некотором R
0
>0 и
()
0lim =⋅
∞→
RMR
R
, где
{
}
0Im,,)(max)( ≥=∈==
∈
zRzCzCzfRM
R
Cz
R
. Тогда
∫
=
∞→
R
C
R
dzzf 0)(lim .
Лемма 2. Пусть m>0 и для функции f(z) выполнены условия:
1) f(z) непрерывна в области D для некоторого R
0
>0;
2)
()
0lim
=
∞→
RM
R
.
Тогда
∫
=
∞→
R
C
imz
R
dzezf 0)(lim .
2 Интегралы первого типа.
Интеграл вида
∫
+∞
∞−
= dxxRI )(, где
)(
)(
)(
xQ
xP
xR = - рациональная функция,
причем многочлен Q(x) не обращается в нуль на действительной оси и его
степень, по крайней мере, на две единицы больше степени полинома Р(x),
назовем интегралом первого типа. В силу условий наложенных выше на R(x),
выполняется неравенство
2
1
)(
x
c
xR
+
≤
с некоторой константой C>0 и поэтому
интеграл I сходится.
Выведем формулу для вычисления этого интеграла с помощью вычетов.
Для этого рассмотрим замкнутый контур K
τ
, состоящий из полуокружности
{
}
0Im, ≥τ=∈=
τ
zzCzC и отрезка
[
]
τ
τ
−
, действительной оси (см. рисунок
1).
Направление обхода контура K
τ
показано на рисунке 1. Рассмотрим
функцию комплексной переменной R(z) и пусть
n
zzz ,...,,
21
- полюсы этой
С
τ
τ
-τ
0
Рисунок 1 
         3 Вычисление несобственных интегралов

       1 При вычислении некоторых типов несобственных интегралов будем
использовать следующие две леммы Жордана.
       Лемма 1. Пусть функция f(z) является непрерывной в области
     {                                 }
D = z ∈ C z ≥ R0 , Im z ≥ 0 при некотором R0>0 и lim R ⋅ M (R ) = 0 , где
                                                                                 R →∞
                                   {
M ( R) = max f ( z ) , C R = z ∈ C z = R, Im z ≥ 0 . Тогда lim
          z∈C R
                                                                  }       R →∞
                                                                                 ∫ f ( z )dz = 0 .
                                                                                 CR
         Лемма 2. Пусть m>0 и для функции f(z) выполнены условия:
         1) f(z) непрерывна в области D для некоторого R0>0;
         2) lim M (R ) = 0 .
            R →∞

                         ∫ f ( z )e
                                       imz
         Тогда lim                           dz = 0 .
                  R →∞
                         CR
         2 Интегралы первого типа.
                                           +∞
                                                 P ( x)
         Интеграл вида I =                 ∫ R( x)dx , где
                                                 Q ( x )
                                                             R( x) =
                                                         - рациональная функция,
                            −∞
причем многочлен Q(x) не обращается в нуль на действительной оси и его
степень, по крайней мере, на две единицы больше степени полинома Р(x),
назовем интегралом первого типа. В силу условий наложенных выше на R(x),
                                    c
выполняется неравенство R( x) ≤       2
                                        с некоторой константой C>0 и поэтому
                                 1+ x
интеграл I сходится.
       Выведем формулу для вычисления этого интеграла с помощью вычетов.
Для этого рассмотрим замкнутый контур Kτ, состоящий из полуокружности
     {                                 }
C τ = z ∈ C z = τ, Im z ≥ 0 и отрезка [− τ, τ] действительной оси (см. рисунок
1).

                                                    у

                                                             Сτ




                              -τ                    0                 τ      х


                                                Рисунок 1

      Направление обхода контура Kτ показано на рисунке 1. Рассмотрим
функцию комплексной переменной R(z) и пусть z1 , z 2 ,..., z n - полюсы этой
12

Страницы