Вычисление интегралов с помощью вычетов. Василего И.П. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

13
функции, лежащие в верхней полуплоскости. Число τ возьмем настолько
большим, чтобы все точки
n
zzz ,...,,
21
оказались внутри K
τ
. Так как 0)(
≠
x
Q на
действительной оси, то существует область G, содержащая замкнутую
верхнюю полуплоскость
{
}
0≥∈ zICz
m
и такая, что функция R(z) аналитична в
G за исключением только лишь точек
n
zzz ,...,,
21
. Область G, контур K
τ
и
функция R(z) удовлетворяет условиям теоремы 1, поэтому
)(Re2)(
1
zRsidzzR
n
k
zz
K
k
∑
∫
=
=
π=
τ
или
)(Re2)()(
1
zRsidzzRdxxR
n
k
zz
C
k
R
∑
∫∫
=
=
τ
τ−
π=+ .
В последнем равенстве перейдем к пределу при ∞→
τ
. Заметим, что
при этом его правая часть не меняется, а в левой части
∫
→
R
C
dzzR 0)( по первой
лемме Жордана, а интеграл
∫∫
τ
τ−
+
∞
∞−
→ dxxRdxxR )()(. Таким образом, получили
формулу
∑
∫
=
=
+∞
∞−
π=
n
k
zz
zRsidxxR
k
1
)(Re2)( , (3)
Таким образом, алгоритм решения несобственных интегралов первого
типа таков:
1) показываем, что знаменатель Q(x) не обращается в нуль на
действительной оси и что его степень по крайней мере на две единицы больше
степени многочлена Р(х);
2) переходим к функции комплексной переменной
)(
)(
)(
zQ
zP
zR = ;
3) находим комплексные корни многочлена Q(z), которые являются
полюсами функции R(z);
4) из найденных полюсов функции R(z) выбираем только те, которые
лежат в верхней полуплоскости, например,
n
zzz ,...,,
21
;
5) по правилам (2) или (3) вычисляем вычеты
nkzRs
k
zz
,1),(Re =
=
;
6) по формуле (3) вычисляем интеграл.
Иногда пункты 5) и 6) выполняются одновременно.
Рассмотрим примеры.
1 Вычислить
()
∫
+∞
+
=
0
2
2
1x
dx
I 
функции, лежащие в верхней полуплоскости. Число τ возьмем настолько
большим, чтобы все точки z1 , z 2 ,..., z n оказались внутри Kτ. Так как Q ( x) ≠ 0 на
действительной оси, то существует область G, содержащая замкнутую
верхнюю полуплоскость {z ∈ C I m z ≥ 0} и такая, что функция R(z) аналитична в
G за исключением только лишь точек z1 , z 2 ,..., z n . Область G, контур Kτ и
функция R(z) удовлетворяет условиям теоремы 1, поэтому
                                                      n
                                 ∫   R( z )dz = 2πi ∑ Re sR( z )
                             Kτ                    k =1 z = z k

или
                        τ                                     n
                        ∫ R( x)dx + ∫ R( z )dz =2πi ∑ Re
                                                      z=z
                                                          sR( z ) .
                       −τ                 CR               k =1   k

       В последнем равенстве перейдем к пределу при τ → ∞ . Заметим, что
при этом его правая часть не меняется, а в левой части ∫ R ( z )dz → 0 по первой
                                                                           CR
                                     τ             +∞
лемме Жордана, а интеграл            ∫ R( x)dx → ∫ R( x)dx .      Таким образом, получили
                                     −τ            −∞
формулу
                            +∞                    n
                             ∫ R( x)dx = 2πi ∑ Re
                                               z=z
                                                   s R( z ) ,                         (3)
                            −∞                   k =1     k



       Таким образом, алгоритм решения несобственных интегралов первого
типа таков:
       1) показываем, что знаменатель Q(x)           не обращается в нуль на
действительной оси и что его степень по крайней мере на две единицы больше
степени многочлена Р(х);
                                                                 P( z )
       2) переходим к функции комплексной переменной R( z ) =           ;
                                                                Q( z )
       3) находим комплексные корни многочлена Q(z), которые являются
полюсами функции R(z);
       4) из найденных полюсов функции R(z) выбираем только те, которые
лежат в верхней полуплоскости, например, z1 , z 2 ,..., z n ;
       5) по правилам (2) или (3) вычисляем вычеты Re s R ( z ), k = 1, n ;
                                                                      z = zk
       6) по формуле (3) вычисляем интеграл.
       Иногда пункты 5) и 6) выполняются одновременно.
       Рассмотрим примеры.
                        +∞
                              dx
       1 Вычислить I = ∫
                            2
                             (
                         0 x +1
                                 2
                                          )
                                                                                       13

Страницы