Вычисление интегралов с помощью вычетов. Василего И.П. - 15 стр.

                          i  3i  π
           Отсюда I = 2πi −  = .
                          16 16  4
                                                                +∞
                                                                           x 2 dx
           3 Вычислить интеграл I =                             ∫                           , a > 0.
                                                                0    (x
                                                                     +a   2         2 3
                                                                                        )
     Решение.                           Так       как           подынтегральная                              функция          четная,        то
       +∞
  1       x 2 dx
I= ∫                                .
               (
  2 −∞ x 2 + a 2            )
                            3

         Очевидно, что I – интеграл первого типа. Рассмотрим функцию
             z2
R( z ) =            . Она аналитична всюду в плоскости за исключением точек
           (
           2
         z +a   2 3
                        )
z1 = ai и z 2 = − ai . Эти точки являются полюсами третьего порядка функции
R(z). Один из них ( z1 = ai ) попал в верхнюю полуплоскость. По формуле (3) и
правилу 3 имеем
                                                                         ″                             ′
             1                             1  z 2 ( z − ai )3            πi         2aiz − z 2 
         I = 2πi ⋅ Re s R( z ) = πi lim                                    =    lim                  =
                                              
                                           2!  ( z − ai ) ( z + ai )                             
                                                                                        ( z + ai ) 
             2       z = ai         z → ai                3          3       2  z → ai             4



           =
             πi
                lim
                                (
                     2 z 2 − a 2 − 4aiz
                                        =
                                            π
                                                .
                                                            )
             2 z →ai      (z + ai )5
                                          16a 3

                                                                    +∞
                                                                                   dx
           4 Вычислить интеграл I n =                                ∫                          , a > 0, n = 1,2,...
                                                                    −∞    (a
                                                                          +x   2        2 n
                                                                                            )
           Решение.                     In              -            интеграл                   первого               типа.        Функция
              1                                   1
R( z ) =                        =                                        имеет полюс z = ai пго порядка в верхней
           (z
         + a2
               n2
                        )
                  (z − ai )n (z + ai )n
полуплоскости. Пользуясь правилом 3 и формулой (3), получаем
                                                                                                    (n −1)                                       (n −1)
I n = 2πi ⋅ Re s R( z ) =
                            2πi
                                   lim 
                                               ( z − ai ) n                                    
                                                                                                            =
                                                                                                                 2πi
                                                                                                                        lim 
                                                                                                                                   1        
                                                                                                                                                         =
            z = ai        (n − 1)! z →ai (z − ai )n (z + ai )n                                
                                                                                                              (n − 1)! z →ai (z + ai )n   
                                                                                                                                             
    2πi (− 1) n(n + 1)(n + 2)...(2n − 2)              (2n − 2 )! .
             n
                                              2π
=          ⋅                             =          ⋅
  (n − 1)!         (2ai )2n−1              (2a )2n−1 ((n − 1)!)2
           Примеры для самостоятельного решения.
           Вычислить интегралы:
              +∞                                +∞
                      xdx                            dx
           1) ∫                  ;           2)  ∫ x 4 + 1;
                   2
                    (
              − ∞ x + 4 x + 13
                               2
                                              )  0




                                                                                                                                                 15