ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
16
3)
()
;
1
0
7
2
∫
+∞
+x
dx
4)
(
)
;0,,
0
4
2
4
∫
+
∞
>
+
ba
abx
dxx
5)
;
22
2
∫
+∞
∞−
−− ixx
dx
6)
()()
;0,,
2222
∫
+
∞
∞−
>
++
ba
bxax
dx
7)
()
;
54
2
2
2
∫
+∞
∞−
−+ ixx
dxx
8)
(
)
;0,
0
2
44
6
∫
+
∞
>
+
a
ax
dxx
9)
()
;
1
8
2
∫
+∞
∞−
+x
dx
10)
(
)
∫
+
∞
∞−
>
−−−
.0,
12
3
2
a
axix
dx
3 Интегралы второго типа.
Интегралы вида
∫∫
+
∞
∞−
+∞
∞−
αα xdxxRxdxxR cos)(,sin)( назовем интегралами
второго типа, если
)(
)(
)(
xQ
xP
xR = - рациональная функция, причем Q(x) не имеет
действительных корней и степень Q(x) по крайней мере на единицу больше
степени Р(x). Покажем, что при этих условиях оба интеграла сходятся.
Интегрируя по частям и учитывая, что
0)(lim
=
∞→
xR
x
, получим
∫∫∫
+∞
∞−
+
∞
∞−
∞+
∞−
+∞
∞−
α
′
α
−=α
′
α
−α
α
=α xdxxRxdxxRxxRxdxxR cos)(
1
cos)(
1
cos)(
1
sin)(
Интеграл
∫
+∞
∞−
α
′
xdxxR cos)( сходится абсолютно, так как у функции )(xR
′
степень числителя по крайней мере на две единицы меньше степени
знаменателя. Отсюда следует сходимость интеграла
∫
+∞
∞−
αxdxxR sin)(.
Аналогично доказываем сходимость интеграла
∫
+
∞
∞−
αxdxxR cos)(. Интегрируя
вспомогательную функцию
zi
ezRzf
α
= )()( по контуру
τ
K (см. рисунок 1) в
силу теоремы 1, получим
∫
∑
∫
τ
=
=
α
τ
τ−
α
π=+
C
n
k
zz
zixi
zfsidzezRdxexR
k
1
)(Re2)()(, где τ настолько велико, что
все полюсы R(z) лежат внутри
τ
K . Переходя к пределу при τ→∞ и замечая, что
по второй лемме Жордана
0)( →
α
∫
τ
dzezR
zi
C
приходим к равенству
+∞ +∞ dx x 4 dx 3) ∫ ; 4) ∫ , a, b > 0; 0 (x 2 +1 ) 7 0 (bx 2 +a ) 4 +∞ +∞ dx dx 5) ∫ x 2 − 2ix − 2 ; 6) ∫ (x 2 )( + a2 x2 + b2 ) , a, b > 0; −∞ −∞ +∞ +∞ x 2 dx x 6 dx 7) ∫ ; 8) ∫ , a > 0; −∞ (x 2 + 4ix − 5 ) 2 0 (x 4 +a ) 4 2 +∞ +∞ dx dx 9) ∫ ; 10) ∫ , a > 0. −∞ (x 2 +1 ) 8 −∞ (x 2 − 2 xi − 1 − a ) 3 3 Интегралы второго типа. +∞ +∞ Интегралы вида ∫ R( x) sin αxdx, ∫ R( x) cos αxdx назовем интегралами −∞ −∞ P ( x) второго типа, если R ( x) = - рациональная функция, причем Q(x) не имеет Q( x) действительных корней и степень Q(x) по крайней мере на единицу больше степени Р(x). Покажем, что при этих условиях оба интеграла сходятся. Интегрируя по частям и учитывая, что lim R ( x) = 0 , получим x →∞ +∞ +∞ +∞ 1 +∞ 1 1 ∫ R( x) sin αxdx = α R( x) cos αx −∞ − ∫ R′( x) cos αxdx = − ∫ R′( x) cos αxdx α −∞ α −∞ −∞ +∞ Интеграл ∫ R ′( x) cos αxdx сходится абсолютно, так как у функции R ′(x) −∞ степень числителя по крайней мере на две единицы меньше степени +∞ знаменателя. Отсюда следует сходимость интеграла ∫ R( x) sin αxdx . −∞ +∞ Аналогично доказываем сходимость интеграла ∫ R( x) cos αxdx . Интегрируя −∞ iα z вспомогательную функцию f ( z ) = R( z )e по контуру K τ (см. рисунок 1) в силу теоремы 1, получим τ n ∫ R ( x )e iα x dx + ∫ R ( z )e iα z dz = 2πi ∑ Re s f ( z ) , где τ настолько велико, что −τ Cτ k =1 z = z k все полюсы R(z) лежат внутри K τ . Переходя к пределу при τ→∞ и замечая, что iα z по второй лемме Жордана ∫ R( z )e dz → 0 приходим к равенству Cτ 16