Вычисление интегралов с помощью вычетов. Василего И.П. - 16 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

16
3)
()
;
1
0
7
2
+∞
+x
dx
4)
(
)
;0,,
0
4
2
4
+
>
+
ba
abx
dxx
5)
;
22
2
+∞
ixx
dx
6)
()()
;0,,
2222
+
>
++
ba
bxax
dx
7)
()
;
54
2
2
2
+∞
+ ixx
dxx
8)
(
)
;0,
0
2
44
6
+
>
+
a
ax
dxx
9)
()
;
1
8
2
+∞
+x
dx
10)
(
)
+
>
.0,
12
3
2
a
axix
dx
3 Интегралы второго типа.
Интегралы вида
+
+∞
αα xdxxRxdxxR cos)(,sin)( назовем интегралами
второго типа, если
)(
)(
)(
xQ
xP
xR = - рациональная функция, причем Q(x) не имеет
действительных корней и степень Q(x) по крайней мере на единицу больше
степени Р(x). Покажем, что при этих условиях оба интеграла сходятся.
Интегрируя по частям и учитывая, что
0)(lim
=
xR
x
, получим
+∞
+
+
+∞
α
α
=α
α
α
α
=α xdxxRxdxxRxxRxdxxR cos)(
1
cos)(
1
cos)(
1
sin)(
Интеграл
+∞
α
xdxxR cos)( сходится абсолютно, так как у функции )(xR
степень числителя по крайней мере на две единицы меньше степени
знаменателя. Отсюда следует сходимость интеграла
+∞
αxdxxR sin)(.
Аналогично доказываем сходимость интеграла
+
αxdxxR cos)(. Интегрируя
вспомогательную функцию
zi
ezRzf
α
= )()( по контуру
τ
K (см. рисунок 1) в
силу теоремы 1, получим
τ
=
=
α
τ
τ
α
π=+
C
n
k
zz
zixi
zfsidzezRdxexR
k
1
)(Re2)()(, где τ настолько велико, что
все полюсы R(z) лежат внутри
τ
K . Переходя к пределу при τ→∞ и замечая, что
по второй лемме Жордана
0)(
α
τ
dzezR
zi
C
приходим к равенству
            +∞                                                                                       +∞
                          dx                                                                                    x 4 dx
       3)   ∫                         ;                                                        4)    ∫                           , a, b > 0;
            0    (x   2
                          +1    ) 7
                                                                                                     0    (bx      2
                                                                                                                       +a   )
                                                                                                                            4

            +∞                                                                                       +∞
                             dx                                                                                             dx
       5)   ∫    x 2 − 2ix − 2
                                               ;                                               6)    ∫    (x   2
                                                                                                                            )(
                                                                                                                    + a2 x2 + b2             )
                                                                                                                                                 , a, b > 0;
            −∞                                                                                       −∞

            +∞                                                                                       +∞
                             x 2 dx                                                                                x 6 dx
       7)   ∫                                        ;                                         8)    ∫                           , a > 0;
            −∞   (x   2
                          + 4ix − 5            )   2
                                                                                                     0    (x   4
                                                                                                                    +a      )
                                                                                                                          4 2

            +∞                                                                                       +∞
                          dx                                                                                                dx
       9)   ∫                       ;                                                          10)    ∫                                          , a > 0.
            −∞   (x   2
                          +1    ) 8
                                                                                                     −∞    (x   2
                                                                                                                       − 2 xi − 1 − a    )
                                                                                                                                         3



       3 Интегралы второго типа.
                                                    +∞                             +∞
       Интегралы вида                               ∫ R( x) sin αxdx,               ∫ R( x) cos αxdx                     назовем интегралами
                                                    −∞                             −∞
                            P ( x)
второго типа, если R ( x) =        - рациональная функция, причем Q(x) не имеет
                            Q( x)
действительных корней и степень Q(x) по крайней мере на единицу больше
степени Р(x). Покажем, что при этих условиях оба интеграла сходятся.
Интегрируя по частям и учитывая, что lim R ( x) = 0 , получим
                                                                              x →∞
       +∞                                                                                 +∞                                        +∞
                           1              +∞  1                     1
        ∫ R( x) sin αxdx =
                           α
                             R( x) cos αx
                                          −∞
                                             − ∫ R′( x) cos αxdx = − ∫ R′( x) cos αxdx
                                              α −∞                  α −∞
       −∞
                             +∞
       Интеграл                ∫ R ′( x) cos αxdx                   сходится абсолютно, так как у функции R ′(x)
                             −∞
степень числителя по крайней мере на две единицы меньше степени
                                                                                                                                    +∞
знаменателя.              Отсюда                    следует                 сходимость                    интеграла                  ∫ R( x) sin αxdx .
                                                                                                                                    −∞
                                                                                                          +∞
Аналогично доказываем сходимость интеграла                                                                ∫ R( x) cos αxdx .             Интегрируя
                                                                                                          −∞
                                                                                   iα z
вспомогательную функцию f ( z ) = R( z )e                                                  по контуру K τ (см. рисунок 1) в
силу теоремы 1, получим
       τ                                                                       n
       ∫ R ( x )e
                      iα x
                             dx +         ∫ R ( z )e
                                                           iα z
                                                                  dz = 2πi ∑ Re s f ( z ) , где τ настолько велико, что
       −τ                                 Cτ                                  k =1 z = z k

все полюсы R(z) лежат внутри K τ . Переходя к пределу при τ→∞ и замечая, что
                                                                     iα z
по второй лемме Жордана                                  ∫ R( z )e          dz → 0 приходим к равенству
                                                     Cτ


16