Вычисление интегралов с помощью вычетов. Василего И.П. - 17 стр.

UptoLike

Составители: 

Рубрика: 

17
()
+∞
=
=
α
π=
n
k
zz
zi
zfsidzezR
k
1
)(Re2.
Приравняв действительные и мнимые части, получаем
()
π=α
α
=
=
+
zi
k
zz
ezRsixdxxR
k
)(Re2Recos)(
1
(4)
()
π=α
α
=
=
+
zi
k
zz
ezRsixdxxR
k
)(Re2Imsin)(
1
(4
/
)
где
k
zzz ...,,
21
полюсы функции R(z), лежащие в верхней
полуплоскости.
Рассмотрим примеры.
1 Вычислить интеграл
(
)
+
++
+
=
22
2sin1
2
xx
xdxx
I .
Решение. Ясно, что I интеграл второго типа
RxxxD ++<== 0220484
2
, и степень знаменателя на 1
меньше степени числителя).
Рассмотрим функцию
(
) ()
()()
)1()1(
2sin1
22
2sin1
)(
2
iziz
zz
zz
zz
zR
+
+
=
++
+
= .
Функция R(z) имеет в верхней полуплоскости один простой полюс в точке
iz += 1
1
. По формуле (4
/
) имеем
(
)
π=
=
zi
zz
ezRsiI
2
)(Re2Im
1
.
Используя правило 2, получаем
()
()
(
)
(
)( )
()()()()
() ()
()
()
2sin2cos
22
1
11
11
1
1
lim
11
11
lim
2
1
Re)(Re
2
22)22(
2
1
2
1
2
2
1
2
1
i
e
ee
i
e
ii
i
iz
ez
iziz
eziz
zzz
ez
szRes
iii
zi
iz
zi
iz
zi
iz
zi
zz
==
+++
++
=
++
+
=
=
+
++
=
++
+
=
+
+
+
+==
Таким образом
()
2cos2sin2cos
2
2Im
2
2
π=
π= ei
e
iI .
2 Вычислить интеграл
0,
cos
0
22
>
+
=
+
a
ax
xdx
I .
Решение. Так как под знаком интеграла стоит четная функция, то
+∞
+
=
22
cos
2
1
ax
xdx
I и
1,
1
)(
22
=α
+
=
ax
xR
.
Так как степень числителя (1) меньше степени знаменателя
(
)
22
ax + на
две единицы и 0
22
+
a
x
для любого действительного х, то Iинтеграл
         +∞                                 n
          ∫    R( z )e iαz dz = 2πi ∑ Re s f ( z ) .
         −∞                                k =1 z = z k
         Приравняв действительные и мнимые части, получаем
                     +∞                        
                                                                                             (        )
                                                        ∞
                                                                              iα z 
                      ∫ R ( x ) cos α xdx = Re  2 π i ∑    Re   s
                                                            z = zk
                                                                   R  ( z ) e                                            (4)
                     −∞                               k =1                        
                     +∞                        
                                                                                             (        )
                                                       ∞
                                                                             iαz 
                      ∫ R ( x ) sin α xdx = Im  2 πi ∑    Re    s R ( z ) e                                         (4/)
                     −∞                         k =1 z = zk                       

      где z1 , z 2 , ...z k полюсы                              функции                  R(z),   лежащие     в   верхней
полуплоскости.
      Рассмотрим примеры.
                                                          +∞
                                                               (x + 1) sin 2 xdx .
         1 Вычислить интеграл I =                         ∫
                                                 x 2 + 2x + 2
                                                          −∞
       Решение.       Ясно,           что          I      –         интеграл           второго        типа
                       2
D = 4 − 8 = −4 < 0 ⇒ x + 2 x + 2 ≠ 0 ∀x ∈ R , и степень знаменателя на 1
меньше степени числителя).
       Рассмотрим функцию R( z ) = 2
                                                       (z + 1) sin 2 z =            (z + 1) sin 2 z      .
                                                        z + 2 z + 2 ( z − (−1 + i ) )( z − (−1 − i ) )
Функция R(z) имеет в верхней полуплоскости один простой полюс в точке
                                                      
z1 = −1 + i . По формуле (4/) имеем I = Im 2πi Re s R ( z )e i 2 z  .
                                                                                
                                                                                         (        )
                                                            z = z1             
       Используя правило 2, получаем
                                   ( z + 1)e i 2 z                 (     (        ))(      )
                 (               )
                                                                                                i2z
                                                                       z −  − 1 + i     z + 1 e
        Re s e R( z ) = Re s  2
               i2z                                    = lim                                        =
        z = z1           z = −1+ i z + 2 z + z  z → −1+ i ( z − (− 1 + i ))( z − (− 1 − i ))
                                                    

         = lim
                          (z + 1)e i 2 z   =
                                                  (− 1 + i + 1)      e   i ( −2 + 2i )    1 − 2 − 2i e − 2
                                                                                         = e ⋅e =          (cos 2 − i sin 2 )
              z → −1+ i    z +1+ i              (− 1 + i + 1 + i )                        2i           2

                                  e −2                     
     Таким образом I = Im 2πi          (cos 2 − i sin 2 ) = π ⋅ e − 2 cos 2 .
                                    2                      
                                   +∞
                                       cos xdx
     2 Вычислить интеграл I = ∫ 2              2
                                                 , a > 0.
                                    0  x   + a
     Решение. Так как под знаком интеграла стоит четная функция, то
    +∞
  1    cos xdx                1
I= ∫ 2         и R ( x ) =          , α = 1.
  2 −∞ x + a 2             x2 + a2
      Так как степень числителя (1) меньше степени знаменателя x 2 + a 2 на                                  (        )
две единицы и x 2 + a 2 ≠ 0 для любого действительного х, то I – интеграл
                                                                                                                          17