ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
18
второго типа. Рассмотрим функцию
()()
aizaiz
az
zR
+−
=
+
=
11
)(
22
. Функция
R(z) имеем в верхней полуплоскости простой полюс z=ai. По формуле (4) и
правилу 2 имеем
a
e
ai
ie
z
e
i
az
e
siI
aaiziz
aiz
aiz
22
2
Re
2
1
2
2Re
2
1
Re2Re
2
1
22
π
=
π
=
π=
+
π=
−
=
=
.
Для вычисления вычета здесь мы использовали формулу
)(
)(
)(
)(
Re
ai
ai
z
z
s
aiz
ψ
′
ϕ
=
ψ
ϕ
=
, так как
()
(
)
0,0
=
ψ
≠
ϕ aiai и
(
)
0
≠
ψ
′
ai . Таким же способом
можно было вычислить вычет и в примере 1.
Примеры для самостоятельного решения.
Вычислить интегралы.
1)
()
;
9
sin)1(
2
2
∫
+∞
∞−
+
−
x
xdxx
2)
;
102
sin
2
∫
+
∞
∞−
++ xx
xdxx
3)
;
45
sin
24
2
∫
+∞
∞−
++ xx
xdxx
4)
()()
;0,0
cos
2222
∫
+
∞
∞−
≠>>
++
baba
bxax
xdx
5)
;0,
sin
22
>
+
∫
+∞
∞−
a
ax
xdxx
6)
(
)
;0
cos
2
22
∫
+
∞
∞−
>
+
a
bx
xdx
7)
(
)
;
3613
sin132
24
3
∫
∞+
∞−
++
+
dx
xx
xxx
8)
;0,
cos
24
∫
+
∞
∞−
>
++
adx
axx
ax
9)
(
)
;
910
sin5
24
3
∫
∞+
∞−
++
+
xx
xdxxx
10)
.
102
cos
2
dx
xx
xx
∫
+
∞
∞−
+−
1 1
второго типа. Рассмотрим функцию R( z ) = = . Функция
z 2 + a 2 ( z − ai )( z + ai )
R(z) имеем в верхней полуплоскости простой полюс z=ai. По формуле (4) и
правилу 2 имеем
1 e iz 1 e iz 1 2πie − a πe a
I = Re 2πi Re s 2 = Re 2πi = Re
2 z = ai z + a 2 2 2 z z = ai
2 2ai = 2a .
Для вычисления вычета здесь мы использовали формулу
ϕ( z ) ϕ(ai )
Re s = , так как ϕ(ai ) ≠ 0, ψ (ai ) = 0 и ψ ′(ai ) ≠ 0 . Таким же способом
z = ai ψ ( z ) ψ ′(ai )
можно было вычислить вычет и в примере 1.
Примеры для самостоятельного решения.
Вычислить интегралы.
+∞ +∞
( x − 1) sin xdx x sin xdx
1) ∫ ; 2) ∫ 2 ;
−∞ ( 2
x +9
2
) −∞ x + 2 x + 10
+∞ +∞
x 2 sin xdx cos xdx
3) ∫ 4
x + 5x + 4 2
; 4) ∫ (x 2 + a 2 )(x 2 + b2 ) a > 0, b > 0 a ≠ b;
−∞ −∞
+∞ +∞
x sin xdx cos xdx
5) ∫ , a > 0; 6) ∫ a > 0;
−∞ x2 + a2 −∞ (x 2
+b )
2 2
+∞
(2 x 3
+ 13x sin x) +∞
cos ax
7) ∫ x 4 + 13 x 2 + 36
dx; 8) ∫ x4 + x2 + a
dx, a > 0;
−∞ −∞
+∞
(x 3
)
+ 5 x sin xdx
+∞
x cos x
9) ∫ 4
x + 10 x + 9 2
; 10) ∫ 2
x − 2 x + 10
dx.
−∞ −∞
18
