Вычисление интегралов с помощью вычетов. Василего И.П. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

8
()
dzzR
i
I
z
∫
=
=
1
~
1
;
3) проверяем условие теоремы 1. Для этого находим изолированные
особые точки
k
zzz ,...,,
21
функции
(
)
zR
~
принадлежащие множеству
{
}
1| <∈ zCz . Теперь функция
(
)
zR
~
аналитична на замкнутом множестве
{}
GzCz =≤∈ 1| ограниченном окружностью 1
=
z за исключением точек
k
zzz ,...,,
21
;
4) вычисляем
I
ориентируясь на следующие возможные случаи:
а)
() ()
zPzR =
~
многочлен относительно z . Так как изолированных
особых точек нет, то 0=
I
;
б)
() ()
zP
zz
a
zR +
−
=
0
~
(
(
)
zP - многочлен). Тогда точка
0
zz = простой
полюс функции
(
)
zR
~
и
(
)
azRs
zz
=
=
~
Re
0
(по определению вычета), поэтому
a
i
a
iI π=⋅π= 22;
в)
()
(
)
()
z
z
zR
ψ
ϕ
=
~
причем
(
)
(
)
(
)
0,,0
000
≠
ψ
ϕ
=
ψ
zzz . Тогда по правилу
2
()
()
()
0
0
~
Re
0
z
z
zRs
zz
ψ
′
ϕ
=
=
и по формуле (2)
(
)
()
0
0
2
z
z
I
ψ
′
ϕ
π= ;
г)
()
(
)
()
zQ
zP
zR
=
~
, где
()
zP и
(
)
zQ - многочлены.
Особые точки
k
zz ,...,
1
ищутся среди корней (нулей) многочлена
()
zQ . Точки
k
zz ,...,
1
могут быть только полюсами (простыми или порядка m ). Вычет
функции
()
zR
~
точек
k
zzz ,...,,
21
находят по правилу 2 или по правилу 3. Тогда
()
zRsiI
k
n
zz
n
~
Re2
1
∑
=
=
π= .
Рассмотрим примеры:
1
(
)
∫
π
+
=
2
0
2
cos5 t
dt
I
Решение. Функция
(
)
2
cos5
1
)(
t
tf
+
= является рациональной функцией
cost и непрерывной на
[]
π2;0. Полагая
it
ez
=
имеем
iz
dz
dt
z
zt =
+= ,
1
2
1
cos . 
               1         ~
         I=
               i       ∫ R (z )dz ;
                   z =1
        3) проверяем условие теоремы 1. Для этого находим изолированные
                                           ~
особые точки z1 , z 2 ,..., z k функции R ( z ) принадлежащие множеству
{z ∈ C | z < 1}. Теперь функция R~(z ) аналитична на замкнутом множестве
{z ∈ C | z ≤ 1} = G            ограниченном окружностью                    z = 1 за исключением точек
z1 , z 2 ,..., z k ;
           4) вычисляем I ориентируясь на следующие возможные случаи:
                     ~
                а) R ( z ) = P( z ) многочлен относительно z . Так как изолированных
особых точек нет, то I = 0 ;
                     ~          a
                б) R ( z ) =        + P( z ) ( P( z ) - многочлен). Тогда точка z = z 0 простой
                             z − z0
                             ~               ~
полюс функции R ( z ) и Re s R ( z ) = a (по определению вычета), поэтому
                                          z = z0
             a
I = 2πi ⋅       = 2πa ;
             i
                   ~          ϕ( z )
                в) R ( z ) =          причем ψ ( z 0 ) = 0, ϕ( z 0 ), ψ ′( z 0 ) ≠ 0 . Тогда по правилу
                              ψ( z )
          ~        ϕ( z 0 )                                  ϕ( z 0 )
2 Re s R ( z ) =              и по формуле (2) I = 2π                   ;
   z = z0          ψ ′( z 0 )                                ψ ′( z 0 )
                  ~         P( z )
               г) R ( z ) =        , где P( z ) и Q( z ) - многочлены.
                            Q( z )
Особые точки z1 ,..., z k ищутся среди корней (нулей) многочлена Q( z ) . Точки
z1 ,..., z k могут быть только полюсами (простыми или порядка m ). Вычет
                ~
функции R ( z ) точек z1 , z 2 ,..., z k находят по правилу 2 или по правилу 3. Тогда
         k
              ~
I = 2πi ∑ Re sR ( z ) .
        n =1 z = z n
         Рассмотрим примеры:
              2π
                    dt
         1 I= ∫
               0        (
                 5 + cos t
                           2
                                      )
                                                          1
         Решение. Функция f (t ) =                                     является рациональной функцией
                                                   (   5 + cos t   )
                                                                   2

                                                             1                         1      dz
cost и непрерывной на [0;2π] . Полагая z = e it имеем cos t =  z +                      , dt = .
                                                             2                         z      iz




8

Страницы