Теория электрической связи. Васильев К.К - 202 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

202
()
(
)
(
)
(
)
(
)
224232422
11111 xxxxxxxxxxx
ϕϕ
=++=++++++=++= ,
Корни полиномов
Ключевым при построении кодов и их декодировании является вопрос о
корнях полиномов, соответствующих кодовым комбинациям. Напомним, что
из теории полиномов над полем вещественных чисел (не конечных!) известно,
что полином степени m всегда имеет m корней, только не все они обязательно
лежат в поле вещественных чисел (на вещественной оси). Часть корней может
находиться в поле комплексных чисел как некотором расширении поля вещест-
венных чисел.
Известная аналогия этому имеется и в конечных полях. Любой многочлен
степени
m
, в том числе и неприводимый над полем
(
)
pGF (не имеющий корней
среди элементов этого поля), всегда имеет
m
корней в расширении
(
)
m
pGF , и этими корнями является часть элементов поля
(
)
m
pGF . Как эле-
менты конечного поля, корни находятся между собой в определенном соотно-
шении. Если
()
x
ϕ
– неприводимый полином с коэффициентами из
()
pGF
и
1
β
– его корень, то ,...,,
32
111
ppp
βββ
также являются его корнями. В поле
(
)
m
pGF
корнями неприводимого полинома степени m будут
1
2
1
4
13
2
121
,...,,,
−
===
m
m
βββββββ
.
Полиномы 1−
n
x
Для дальнейшего обсуждения процедур кодирования и декодирования
полезно иметь в виду следующие свойства многочлена вида 1−
n
x . Для любого
элемента
β
как циклической группы справедливо равенство
ββ
=
m
p
. Это оз-
начает, что любой из элементов
β
является корнем уравнения xx
m
p
= или,
что то же самое, корнем полинома xx
m
p
− или
(
)
1
1
−
−
m
p
xx . Нулевой элемент
0=
β
– корень полинома
x
, а каждый из ненулевых элементов поля
(
)
m
pGF –
один из корней полинома 1
1
−
−
m
p
x . Таким образом,
()
∏
=
−=−
m
m
p
i
i
p
xxx
1
β
.
(5.10)
Пусть q – порядок элемента поля
β
, т.е. 1=
q
β
. Следовательно,
β
– ко-

Страницы